ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp S.ABC có \(SC = a\sqrt 2 \), tam giác SAB đều cạnh a và tam giác SAC vuông tại A. Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là
A. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}.\)
B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{6}.\)
C. \(4\pi {a^3}.\)
D. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(a = 1\) ta có:
• \(\Delta SAC \Rightarrow AC = \sqrt {S{C^2} – S{A^2}} = 1\)
• Gọi \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AI \bot BC\) (vì \(\Delta ACB\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)\) (tính chất 2 mặt phẳng vuông góc) (1)
• \(\Delta AIB = \Delta AIS \Rightarrow IB = SI\)
\( \Rightarrow \Delta SBI\) vuông tại \(S\) và\(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\) (2)
(1), (2) \( \Rightarrow AI\) là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\)
• Kẻ trung trực đoạn \(AB\) cắt \(AI \equiv O \Rightarrow O\) là tâm cầu ngoại tiếp \(S.ABC\)
• \(\Delta J{\rm{O}}A \sim \Delta {\rm{IBA}} \Rightarrow \frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{J{\rm{A}}}}{{IA}}\)
\( \Rightarrow R = OA = \frac{{AB.J{\rm{A}}}}{{IA}}\) (*)
\(BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2}} = \sqrt 3 \Rightarrow IB = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow AI = \sqrt {A{B^2} – B{I^2}} = \frac{1}{2}\)
Thay vào (*) \( \Rightarrow R = \frac{{1.0,5}}{{0,5}} = 1\)
\( \Rightarrow {V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \)
\( \Rightarrow \)
===========
Trả lời