ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên bằng \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(C\). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABD\) bằng
A. \(\frac{{a\sqrt {37} }}{6}\).
B. \(\frac{{a\sqrt {35} }}{7}\).
C. \(\frac{{a\sqrt {36} }}{7}\).
D. \(\frac{{a\sqrt {39} }}{7}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(O\) là tâm \(\Delta ABC\) thì \(SO \bot \left( {ABC} \right)\), \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABD\).
\(\Delta ABD\) có \(CA = CB = CD = a\) nên \(C\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABD\).
Qua \(C\) vẽ đường thẳng \(d\) vuông góc với \((ABC)\) thì tâm \(I\) nằm trên \(d\).
Ta có: \(CO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\), \(SO = \sqrt {S{C^2} – C{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = a\)
\(\begin{array}{l}I{B^2} = I{S^2} \Leftrightarrow I{C^2} + B{C^2} = {\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {OS} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow I{C^2} + B{C^2} = I{C^2} + C{O^2} + O{S^2} + 2\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {CO} + 2\overrightarrow {CO} .\overrightarrow {OS} + 2\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {OS} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow B{C^2} = C{O^2} + O{S^2} + 2\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {OS} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow B{C^2} – C{O^2} – O{S^2} = – 2IC.OS\end{array}\)
Suy ra \(IC = \frac{{B{C^2} – C{O^2} – O{S^2}}}{{ – 2OS}} = \frac{{{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} – {a^2}}}{{ – 2a}} = \frac{a}{6}\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABD\) là \(R = IB = \sqrt {I{C^2} + C{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{6}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}\).
===========
Trả lời