Cho hàm số\(f\left( x \right) = \left| { – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}\left( {2m + 3} \right){x^2} – \left( {{m^2} + 3m} \right)x + \frac{2}{3}} \right|\) có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 9;9} \right]\)để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\)?

Câu hỏi: Cho hàm số\(f\left( x \right) = \left| { – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}\left( {2m + 3} \right){x^2} – \left( {{m^2} + 3m} \right)x + \frac{2}{3}} \right|\) có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 9;9} \right]\)để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\)?

A. \(3.\)

B. \(2.\)

C. \(16.\)

D. \(9.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Nhận xét: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {g\left( x \right)} \right|\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) ta có \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\forall x \in \left( {a;b} \right)\\g’\left( x \right) \le 0\forall x \in \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \le 0\forall x \in \left( {a;b} \right)\\g’\left( x \right) \ge 0\forall x \in \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Đặt \(g\left( x \right) = – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}\left( {2m + 3} \right){x^2} – \left( {{m^2} + 3m} \right)x + \frac{2}{3}\). Ta có:

\(g\left( x \right) = – {x^2} + \left( {2m + 3} \right)x – \left( {{m^2} + 3m} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – {x^2} + \left( {2m + 3} \right)x – \left( {{m^2} + 3m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên của\(g\left( x \right)\):

Từ nhận xét trên ta có hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right)\) tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\forall x \in \left( {1;2} \right)\\g’\left( x \right) \le 0\forall x \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \le 0\forall x \in \left( {1;2} \right)\\g’\left( x \right) \ge 0\forall x \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \le 1 < 2 \le m + 3\\g\left( 2 \right) \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 3 \le 1\\g\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2 \le m\\g\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} – 1 \le m \le 1\\ – 2{m^2} – 2m + 4 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \le – 2\\ – 2{m^2} – 2m + 4 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge \\ – 2{m^2} – 2m + 4 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2.\end{array} \right.\)

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC