Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x+2025$. Biết hàm số đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$. Khi đó ${{a}^{2}}+2b$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Lời giải:
Xét hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x+1$. Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}$. Sự biến thiên: Ta có: ${y}’=-3{{x}^{2}}+3;$. ${y}’=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array} \right.$. Bảng xét dấu ${f}’\left( x \right)$ :

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l} a=-1 \\ b=1 \end{array} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+2b=3$.