Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 4\,\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ đến \(\left( C \right)\) duy nhất một tiếp tuyến?
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. Vô số.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đường thẳng \((d)\) qua \(A\left( {a\,;\,0} \right) \in Ox\), \(a \in \mathbb{Z}\) có hệ số góc \(k\) có phương trình là \(y = k\left( {x – a} \right)\).
\(\left( d \right)\)là tiếp tuyến duy nhất với \(\left( C \right)\) khi hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} – 3{x^2} + 4 = k\left( {x – a} \right)\\3{x^2} – 6x = k\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( I \right)\).
\(\left( I \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} – x – 2} \right) = k\left( {x – a} \right)\\3x\left( {x – 2} \right) = k\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\)\( \Rightarrow \left( {x – 2} \right)\left[ {2{x^2} – \left( {3a – 1} \right)x + 2} \right] = 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2 = 0\\2{x^2} – \left( {3a – 1} \right)x + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\).
Hệ \(\left( I \right)\)có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(x = 2\).
Trường hợp 1: Phương trình \(\left( * \right)\)vô nghiệm\( \Leftrightarrow \)\(\Delta < 0 \Leftrightarrow – 1 < a < \frac{5}{3}\). Vì \(a \in \mathbb{Z}\)nên \(\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 1\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm kép \(x = 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\\frac{{3a – 1}}{4} = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = – 1\\a = \frac{5}{3}\end{array} \right.\\a = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a \in \emptyset \).
Vậy tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn là \(A\left( {0\,;\,0} \right)\) hoặc \(A\left( {1\,;\,0} \right)\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trả lời