Cho hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(A\), \(B\) là hai điểm thuộc hai nhánh của \(\left( C \right)\) và các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\), \(B\) cắt các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) lần lượt tại các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Diện tích tứ giác \(MNPQ\) có giá trị nhỏ nhất bằng

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(A\), \(B\) là hai điểm thuộc hai nhánh của \(\left( C \right)\) và các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\), \(B\) cắt các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) lần lượt tại các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Diện tích tứ giác \(MNPQ\) có giá trị nhỏ nhất bằng

A. \(16\).

B. \(32\).

C. \(8\).

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tiệm cận đứng: \(x = – 1{\rm{ }}\left( {{d_1}} \right)\), tiệm cận ngang: \(y = 1{\rm{ }}\left( {{d_2}} \right)\).

Ta có \(y’ = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Xét điểm \(A\left( {a – 1\,;\,\frac{{a – 2}}{a}} \right) \in \left( C \right)\), \(a > 0\).

Tiếp tuyến tại \(A\) là \({\Delta _1}\): \(y = \frac{2}{{{a^2}}}\left( {x – a + 1} \right) + \frac{{a – 2}}{a}\)

\(M = {\Delta _1} \cap {d_2}\)\( \Rightarrow M\left( {2a – 1\,;\,1} \right)\).

\(N = {\Delta _1} \cap {d_1}\)\( \Rightarrow N\left( { – 1\,;\,\frac{{a – 4}}{a}} \right)\).

Xét điểm \(B\left( {b – 1\,;\,\frac{{b – 2}}{b}} \right) \in \left( C \right)\), \(b < 0\).

Tiếp tuyến tại \(B\) là \({\Delta _2}\):\(y = \frac{2}{{{b^2}}}\left( {x – b + 1} \right) + \frac{{b – 2}}{b}\)

\(P = {\Delta _2} \cap {d_2}\)\( \Rightarrow P\left( {2b – 1\,;\,1} \right)\).

\(Q = {\Delta _1} \cap {d_1}\)\( \Rightarrow Q\left( { – 1\,;\,\frac{{b – 4}}{b}} \right)\).

\(\overrightarrow {MP} = \left( {2b – 2a\,;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {NQ} = \left( {0\,;\,\frac{4}{a} – \frac{4}{b}} \right)\)

Ta có \(MP \bot NQ \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP.NQ = \frac{1}{2}.2\left| {a – b} \right|.4\left| {\frac{1}{a} – \frac{1}{b}} \right| = \frac{{4{{\left( {a – b} \right)}^2}}}{{ – ab}} = \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2} – 2ab} \right)}}{{ – ab}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm \({a^2}\) và \({b^2}\), ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {{a^2}.{b^2}} = – 2ab\)

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} \ge \frac{{4\left( { – 4ab} \right)}}{{ – ab}} = 16\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = – b\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số