PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP
Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right) = m\) có đúng 2 nghiệm phân biệt.A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Cách tự luận truyền thống
Từ đồ thị, suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right)\)
TXĐ \(D = \left[ { – 2;2} \right]\)
Ta có \(g’\left( x \right) = – \frac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}f’\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right)\)
\(g’\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f’\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt {4 – {x^2}} = – 1(l)\\\sqrt {4 – {x^2}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình \(g\left( x \right) = m\) có hai nghiệm phân biết khi \(\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\)
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { – 1;2} \right\}\).
Vậy có 2 giá trị m thoả mãn bài toán.
Cách 2: PP ghép trục
Đặt \(t = \sqrt {4 – {x^2}} \). TXĐ: \(D = \left[ { – 2;2} \right]\)
Ta có: \(t’ = \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\); \(t’ = 0 \Rightarrow x = 0 \in \left( { – 2;2} \right)\)
Bảng biến thiên
Phương trình \(f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right) = m\) trở thành \(f\left( t \right) = m\)
Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và bảng biến thiên \(t\left( x \right) = \sqrt {4 – {x^2}} \) ta có bảng sau đây
Từ bảng trên suy ra phương trình \(f\left( t \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt khi \(m \in \left( {1;3} \right)\) hoặc \(m = – 1\)
Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { – 1;2} \right\}\)thoả mãn bài toán.
Vậy có 2 giá trị m thoả mãn.
=======
Trả lời