Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1\,;\,2} \right]\) và thoả mãn đồng thời các điều kiện \(f\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\) và \(f\left( x \right) + xf’\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){f^2}\left( x \right)\), \(\forall x \in \left[ {1\,;\,2} \right]\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\), \(x = 1,\) \(\,x = 2\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(0 < S < \frac{1}{2}\).
B. \(2 < S < 3\).
C. \(1 < S < \frac{3}{2}\).
D. \(\frac{1}{2} < S < 1\).
Lời giải
Ta có \(f\left( x \right) + xf’\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){f^2}\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {xf\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {xf\left( x \right)} \right)^2}.\left( {2x + 1} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {xf\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {xf\left( x \right)} \right)}^2}}} = \left( {2x + 1} \right)\),\(\forall x \in \left[ {1\,;\,2} \right]\).
\( \Rightarrow \int {\frac{{{{\left( {xf\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {xf\left( x \right)} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} \) \( \Rightarrow \frac{{ – 1}}{{xf\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\) \(\left( 1 \right)\)
Thay \(x = 1\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(\frac{{ – 1}}{{1.f\left( 1 \right)}} = {1^2} + 1 + C \Leftrightarrow 2 = 2 + C \Leftrightarrow C = 0\).
\( \Rightarrow \frac{{ – 1}}{{xf\left( x \right)}} = {x^2} + x\) \( \Rightarrow f(x) = \frac{{ – 1}}{{{x^3} + {x^2}}}\) (với mọi \(x \in \left[ {1\,;\,2} \right]\)).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{{{x^3} + {x^2}}}\), trục \(Ox\), \(x = 1,\,x = 2\) là:
\(S = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{ – 1}}{{{x^3} + {x^2}}}} \right|{\rm{d}}x} \approx 0,2123\).
===========
Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024
Để lại phản hồi