PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP
Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên.Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({f^2}\left( {\cos x} \right) + \left( {3 – m} \right)f\left( {\cos x} \right) + 2m – 10 = 0\) có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{3};\pi } \right]\) là
A. \(5\).
B. \(6\).
C. \(7\).
D. \(4\).
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận truyền thống
Ta có \({f^2}\left( {\cos x} \right) + \left( {3 – m} \right)f\left( {\cos x} \right) + 2m – 10 = 0\).
Đặt \(t = f\left( {\cos x} \right)\) ta được phương trình \({t^2} + \left( {3 – m} \right)t + 2m – 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = m – 5\end{array} \right.\).
+) Với \(t = 2 \Rightarrow f\left( {\cos x} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{\pi }{3}\\x = 0\end{array} \right.\) vì \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{3};\pi } \right]\).
+) Với \(t = m – 5 \Rightarrow f\left( {\cos x} \right) = m – 5\) (1).
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{3};\pi } \right]\) thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm trên đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{3};\pi } \right]\) khác \( – \frac{\pi }{3};0;\frac{\pi }{3}\).
Với \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{3};\pi } \right]\)\( \Rightarrow u = \cos x \in \left[ { – 1;1} \right]\).
Nhận xét:
Nếu \(u \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right)\) thì có 2 nghiệm \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{3};\pi } \right]\).
Nếu \(u = 1\) hoặc \(u \in \left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right)\) thì có đúng 1 nghiệm \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{3};\pi } \right]\).
Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa
\(f\left( {\cos x} \right) = m – 5 \Leftrightarrow f\left( u \right) = m – 5\) có nghiệm \(u \in \left[ { – 1;\frac{1}{2}} \right)\).
Từ bảng biến thiên suy ra \( – 4 \le m – 5 < 2 \Leftrightarrow 1 \le m < 7\).
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt \(t = \cos x \in \left[ { – 1;1} \right]\) vì \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{3};\pi } \right]\)
\(t’ = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi \end{array} \right.\)
Khi đó phương trình \({f^2}\left( {\cos x} \right) + \left( {3 – m} \right)f\left( {\cos x} \right) + 2m – 10 = 0\)thành
\(f{\left( t \right)^2} + \left( {3 – m} \right)f\left( t \right) + 2m – 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = 2\\f\left( t \right) = m – 5\end{array} \right.\)
Do phương trình \(f\left( t \right) = 2\) có 3 nghiệm nên yêu cầu bài toán tương đương với phương trình
\(f\left( t \right) = m – 5\) có duy nhất một nghiệm \( – 4 \le m – 5 < 2 \Leftrightarrow 1 \le m < 7\)
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
=======
Trả lời