Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} – {x^3} + 2x – 1\). Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {x – \frac{m}{3}} \right) – \frac{1}{2}{\left( {x – \frac{m}{3} – 1} \right)^2} + m + 1\), với \(m\) là tham số. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số nguyên dương \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {7\,;\,8} \right)\). Tổng các phần tử có trong tập \(S\) bằng
A. 186.
B. 816.
C. 168.
D. 618.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(f'(x) = {x^3} – 3{x^2} + 2\) và \(g'(x) = f’\left( {x – \frac{m}{3}} \right) – \left( {x – \frac{m}{3} – 1} \right)\).
Hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {7;8} \right)\) khi và chỉ khi \(g’\left( x \right) \ge 0\), \(\forall x \in \left( {7\,;\,8} \right)\).
\( \Leftrightarrow f’\left( {x – \frac{m}{3}} \right) \ge \left( {x – \frac{m}{3} – 1} \right)\), \(\forall x \in \left( {7\,;\,8} \right)\).
Đặt \(t = x – \frac{m}{3}\), khi đó bất phương trình trên trở thành
\(f'(t) \ge t – 1\)\( \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} + 2 \ge t – 1\)\( \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} – t + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1 \le t \le 1}\\{t \ge 3}\end{array}} \right.\).
Suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1 \le x – \frac{m}{3} \le 1}\\{x – \frac{m}{3} \ge 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1 + \frac{m}{3} \le x \le 1 + \frac{m}{3}}\\{x \ge 3 + \frac{m}{3}}\end{array}} \right.\)
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1 + \frac{m}{3} \le 7}\\{1 + \frac{m}{3} \ge 8}\end{array}} \right.}\\{3 + \frac{m}{3} \le 7}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{21 \le m \le 24}\\{m \le 12}\end{array}} \right.\).
Vậy \(S = \left\{ {1\,;\,2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;\,8\,;9\,;\,10\,;\,11\,;\,12\,;21\,;22\,;23\,;24} \right\}\)
Do đó tổng các phần tử của \(S\) bằng 168.
=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC
Để lại phản hồi