Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số \(y = f\left( {3x + 1} \right) – {x^3} + 3x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số \(y = f\left( {3x + 1} \right) – {x^3} + 3x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { – 1\,;\, – \frac{1}{3}} \right)\). B. \(\left( {\frac{1}{4}\,;\,\frac{1}{3}} \right)\). C. \(\left( {\frac{2}{3}\,;\,1} \right)\). D. \(\left( {\frac{3}{4}\,;1} \right)\)

Lời giải

 

Ta có \(y’ = 3f’\left( {3x + 1} \right) – 3{x^2} + 3\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(K\) ta cần có \(y’ = 3f’\left( {3x + 1} \right) – 3{x^2} + 3 \ge 0\,\), \(\forall x \in K\)
\( \Leftrightarrow f’\left( {3x + 1} \right) + \left( { – {x^2} + 1} \right) \ge 0\,,\,\forall x \in K\) ta chỉ cần chọn \(x\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( {3x + 1} \right) \ge 0\\ – {x^2} + 1 \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}1 \le 3x + 1 \le 3\\3x + 1 \ge 4\end{array} \right.\\ – 1 \le x \le 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}0 \le x \le \frac{2}{3}\\x \ge 1\end{array} \right.\\ – 1 \le x \le 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 0 \le x \le \frac{2}{3}\), ta thấy \(\left( {\frac{1}{4}\,;\,\frac{1}{3}} \right) \subset \left[ {0\,;\,\frac{2}{3}} \right]\).