Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\)\(\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai có đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ. Biết hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) lần lượt là \( – 1\); \(1\); \(2\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) bằng

  Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\)\(\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai có đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ. Biết hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) lần lượt là \( – 1\); \(1\); \(2\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) bằng

A. \(\frac{{27}}{4}\).

B. \(6\).

C. \(\frac{8}{3}\).

D. \(\frac{{37}}{{12}}\).

Lời giải

Vì hàm số bậc hai \(y = g\left( x \right)\) có đồ thị đi qua gốc tọa độ nên \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex\).

Vì phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) có ba nghiệm là \( – 1\); \(1\); \(2\) nên

\(f\left( x \right) – g\left( x \right) = k\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right),\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + 2} \right) – \left( {d{x^2} + ex} \right) = k\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right),\forall x \in \mathbb{R}\).

Thay \(x = 0\) vào đẳng thức trên ta được \(2 = 2k\) hay \(k = 1\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|{\rm{d}}x} \)

\( = \left[ {\left| {\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right){\rm{d}}x} } \right|} \right]\) \( = \left[ {\left| {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle – 1}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right.} \right| + \left| {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right.} \right|} \right]\)\( = \left( {\left| { – \frac{4}{3} + 4} \right| + \left| {\frac{{15}}{4} – \frac{{14}}{3} – \frac{3}{2} + 2} \right|} \right)\)\( = \frac{{37}}{{12}}\).

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024