Điều kiện cần và đủ của tham số \(a\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {4f\left( x \right) + {x^2} – a} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) là
A. \(a \le 4f\left( { – 2} \right) + 4\).
B. \(a < 4f\left( 4 \right) + 16\).
C. \(a < 4f\left( { – 2} \right) + 4\).
D. \(a \le 4f\left( 4 \right) + 16\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(h\left( x \right) = 4f\left( x \right) + {x^2} – a\).
Ta có \(h’\left( x \right) = 4f’\left( x \right) + 2x = 4\left( {f’\left( x \right) + \frac{x}{2}} \right)\) và \(h’\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \,f’\left( x \right) = – \frac{x}{2}\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).
Từ đồ thị ta thấy
\(\int\limits_{ – 2}^0 {\left( {f’\left( x \right) + \frac{x}{2}} \right){\rm{d}}x\, < \int\limits_0^4 {\left( { – \frac{x}{2} – f’\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} } \, \Leftrightarrow \,4\int\limits_{ – 2}^0 {\left( {f’\left( x \right) + \frac{x}{2}} \right){\rm{d}}x\, < 4\int\limits_0^4 {\left( { – \frac{x}{2} – f’\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} } \).
Do đó \(\int\limits_{ – 2}^0 {h’\left( x \right)\,} {\rm{d}}x\, < \int\limits_0^4 { – h’\left( x \right)\,{\rm{d}}x} \Leftrightarrow h\left( 0 \right) – h\left( { – 2} \right) < – h\left( 4 \right) + h\left( 0 \right)\, \Leftrightarrow h\left( 4 \right) < h\left( { – 2} \right)\).
Bảng biến thiên của \(y = h\left( x \right)\)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right| = \left| {4f\left( x \right) + {x^2} – a} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) khi và chỉ khi
\(h\left( 4 \right) \ge 0\)\(\, \Leftrightarrow \,4f\left( 4 \right) + 16 – a \ge 0\,\)\( \Leftrightarrow \,a \le \,4f\left( 4 \right) + 16\).
=======Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC
Để lại phản hồi