Câu hỏi:
Cho hai số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{3(y + 1)}}{{\sqrt {x + 1} }} + 3y(y + 1) =- {y^3} + x\sqrt {1 + x}+ \sqrt {1 + x} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} – {x^2} – {y^2} – 2y + 2021\).
A. \(2020\).
B. \(2021\).
C. \(2023\).
D. \(2018\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ điều kiện bài toán ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _3}\frac{{3(y + 1)}}{{\sqrt {x + 1} }} + 3y(y + 1) =- {y^3} + x\sqrt {1 + x}+ \sqrt {1 + x} \\ \Leftrightarrow {\log _3}3 + {\log _3}(y + 1) – {\log _3}\sqrt {x + 1}+ {y^3} + 3{y^2} + 3y = (x + 1)\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow {\log _3}(y + 1) + {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1 = {\log _3}\sqrt {x + 1}+ {(\sqrt {x + 1} )^3}\\ \Leftrightarrow {\log _3}(y + 1) + {(y + 1)^3} = {\log _3}\sqrt {x + 1}+ {(\sqrt {x + 1} )^3}\end{array}\).
Xét hàm số \(f(t) = {\log _3}t + {t^3}\).Ta có : \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 3{t^2} > 0\,\,\,\,\forall t > 1\).
Ta có\(f(y + 1) = f(\sqrt {x + 1} ) \Rightarrow y + 1 = \sqrt {x + 1} \).
Khi đó: \(P = {x^3} – {x^2} – {y^2} – 2y + 2021 = {x^3} – {x^2} – {(y + 1)^2} + 2022\)
\( = {x^3} – {x^2} – {(\sqrt {x + 1} )^2} + 2022 = {x^3} – {x^2} – x + 2021\)
Xét hàm số \(g(x) = {x^3} – {x^2} – x + 2021\)với \(x > 0\)
\(g'(x) = 3{x^2} – 2x – 1;g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ – 1}}{3}\end{array} \right.\).Lập BBT ta có \(Min\,P = g\left( 1 \right) = 2020\)
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời