Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 1 – 2i} \right| = \left| {{z_1} – 5 + 2i} \right|\) và \(\left| {{z_2} + 3 – 2i} \right| = 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + 3 + i} \right| + \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) bằng
A. \(5\sqrt 5 – 2\).
B. \(\sqrt {10} + 2\).
C. \(3\sqrt {10} – 2\).
D. \(\sqrt {85} – 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) và \({z_2}\).
Gọi \({z_1} = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\), từ \(\left| {{z_1} + 1 – 2i} \right| = \left| {{z_1} – 5 + 2i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 3x – 2y – 6 = 0\)
\( \Rightarrow \)Tập hợp điểm \(M\) là đường thẳng có phương trình \(\left( \Delta \right):3x – 2y – 6 = 0\).
Từ \(\left| {{z_2} + 3 – 2i} \right| = 2\)\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(N\) là đường tròn tâm \(I\left( { – 3;2} \right)\), bán kính \(R = 2\).
Ta có \(P = \left| {{z_1} + 3 + i} \right| + \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MA + MN\), với \(A = \left( { – 3; – 1} \right)\).
Dễ dàng chứng minh được điểm \(A\) và đường tròn \(\left( {I;R} \right)\) nằm về cùng một phía so với đường thẳng \(\Delta \).
Gọi \(A’\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \) \( \Rightarrow A’\left( {3; – 5} \right)\).
Ta có \(P = MA + MN \ge MA’ + MI – R \ge A’I – R = \sqrt {85} – 2\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm \(A’,M,N,I\) thẳng hàng. Vậy \(\min P = \sqrt {85} – 2\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời