Cho hai số phức \({z_1}\) và \({z_2}\) thỏa mãn \({z_1} + {z_2} = 4 + 3i\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\), tìm giá trị lớn nhất của \(A = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
A. \(2\sqrt {29} \).
B. \(\sqrt {29} \).
C. \(5 + 3\sqrt 5 \).
D. \(34 + 3\sqrt 2 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \({z_1} = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), \({z_2} = c + di,\,\,\left( {c,d \in \mathbb{R}} \right)\).
Theo giả thiết ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b + d = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\,\,\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2} = 25\\{\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = \frac{{29}}{2}\).
Ta có \(A = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) ta có: \({A^2} \le 2\left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \right] = 29 \Leftrightarrow A \le \sqrt {29} \).
Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) bằng \(\sqrt {29} \). Dấu bằng sảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 4\,\,\\b + d = 3\\{\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 4\,\\{a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{5}\\b = \frac{{23}}{{10}}\\c = \frac{{13}}{5}\\d = \frac{7}{{10}}\end{array} \right.\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời