Cho các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn: \(x + y \le 15\) và \({\log _2}\frac{{{x^2} + 1}}{{2xy + 1}} + x\left( {x – 2y} \right) = 0\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{{2{{(x + y)}^4}(y – 3)}}{{81xy}}\) là:

Câu hỏi: Cho các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn: \(x + y \le 15\) và \({\log _2}\frac{{{x^2} + 1}}{{2xy + 1}} + x\left( {x – 2y} \right) = 0\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{{2{{(x + y)}^4}(y – 3)}}{{81xy}}\) là:

A. \( – 4\)  

B. \(0\)  

C. \(\frac{{ – 64}}{{81}}\)  

D. \(50\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \({\log _2}\frac{{{x^2} + 1}}{{2xy + 1}} + x\left( {x – 2y} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} + 1) + {x^2} + 1 = {\log _2}(2xy + 1) + 2xy + 1\).

Xét hàm số \(f(t) = {\log _2}t + t\). Ta có: \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 \Rightarrow f'(t) > 0\) với \(\forall t > 0\).

Suy ra hàm số đồng biến trên \((0; + \infty )\).

Ta có: \(f({x^2} + 1) = f(2xy + 1) \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2xy + 1 \Leftrightarrow x(x – 2y) = 0 \Leftrightarrow x = 2y,\left( {do{\rm{ }}x > 0} \right)\)

Thay \(x = 2y\) vào biểu thức \(A = \frac{{2{{(x + y)}^4}(y – 3)}}{{81xy}} \Rightarrow A = \frac{{2.81{y^4}(y – 3)}}{{81.2{y^2}}} = {y^3} – 3{y^2}\).

Vì \(x + y \le 15 \Rightarrow 3y \le 15 \Leftrightarrow y \le 5\).

Xét hàm số \(g(y) = {y^3} – 3{y^2};{\rm{}}g'(y) = 3{y^2} – 6y\); \({\rm{}}g'(y) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\).

Từ BBT suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) bằng \(50\) khi và chỉ khi\(\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 5\end{array} \right.\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit