ĐỀ BÀI:
Cho bình nước hình trụ có bán kính đáy \({r_1}\) và chiều cao \({h_1}\) (có thể bỏ qua chiều dày đáy và thành bình), hai quả nặng \(A\) và \(B\) dạng hình cầu đặc có bán kính lần lượt là \(r\) và \(2r\). Biết rằng \({h_1} > 2{r_1}\), \({r_1} > 2r\) và bình đang chứa một lượng nước. Khi ta bỏ quả cầu \(A\) vào bình thì thấy thể tích nước tràn ra là \(2\) lít. Khi ta nhấc quả cầu \(A\) ra và thả quả cầu \(B\) vào bình thì thể tích nước tràn ra là \(7\) lít. Giá trị bán kính \(r\) bằng
A. \(\sqrt[3]{{\frac{3}{{4\pi }}}}\,\,\left( {{\rm{dm}}} \right)\).
B. \(\sqrt[3]{{\frac{3}{{8\pi }}}}\,\,\left( {{\rm{dm}}} \right)\).
C. \(\sqrt[3]{{\frac{3}{{2\pi }}}}\,\,\left( {{\rm{dm}}} \right)\).
D. \(\sqrt[3]{{2\pi }}\,\,\left( {{\rm{dm}}} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Thể tích hai khối cầu \(A\); \(B\) lần lượt là:
\({V_A} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\); \({V_B} = \frac{4}{3}\pi {\left( {2r} \right)^3} = \frac{{32}}{3}\pi {r^3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Gọi \(V\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) là thể tích bình không chứa nước.
Khi bỏ quả cầu \(A\) vào bình thì thấy thể tích nước tràn ra là 2 lít \( = 2\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\)\( \Rightarrow {V_A} – 2 = V\)
Khi nhấc quả cầu \(A\) và bỏ quả cầu \(B\) vào bình thì thấy thể tích nước tràn ra là 7 lít \( = 7\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) (sau khi nhấc quả cầu \(A\) thì nước trong bình đã mất 2 lít, đồng nghĩa rằng thể tích không chứa nước sẽ là \(V + 2\))\( \Rightarrow {V_B} – 7 = V + 2 \Rightarrow {V_B} – 9 = V\)
Do đó \({V_A} – 2 = {V_B} – 9 \Rightarrow {V_B} – {V_A} = 7 \Rightarrow \frac{{32}}{3}\pi {r^3} – \frac{4}{3}\pi {r^3} = 7 \Rightarrow \frac{{28}}{3}\pi {r^3} = 7 \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{3}{{4\pi }}}}\).
===========
Trả lời