Cắt hình nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh và có khoảng cách đến tâm \(O\) của đường tròn đáy là \(\frac{{3a}}{2}\) ta được thiết diện là tam giác đều cạnh \(4a\). Thể tích của \(\left( N \right)\) bằng

Câu hỏi: Cắt hình nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh và có khoảng cách đến tâm \(O\) của đường tròn đáy là \(\frac{{3a}}{2}\) ta được thiết diện là tam giác đều cạnh \(4a\). Thể tích của \(\left( N \right)\) bằng

A. \(\frac{{7\pi {a^3}}}{3}\).

B. \(\frac{{4\sqrt {13} \pi {a^3}}}{3}\).

C. \(\frac{{8\sqrt {13} \pi {a^3}}}{3}\).

D. \(7\pi {a^3}\).

GY:

Gọi \(O\) là tâm đường tròn đáy và thiết diện là tam giác \(SAB\) đều cạnh \(4a\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Kẻ \(OK \bot SH\), khi đó \({\rm{d}}\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = SK = \frac{{3a}}{2} = \frac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\Delta SAB\) đều có cạnh \(4a\) suy ra \(SH = 4a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 a\).

Lại có \(O{H^2} = S{H^2} – S{O^2} = 12{a^2} – S{O^2}.\)

Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được \(\frac{{3a}}{2} = \frac{{SO.\sqrt {12{a^2} – S{O^2}} }}{{\sqrt {S{O^2} + 12{a^2} – S{O^2}} }} = \frac{{SO.\sqrt {12{a^2} – S{O^2}} }}{{2\sqrt 3 a}} \Leftrightarrow SO = 3a\).

Ta có \(OA = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} – {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt 7 \).

Vậy \({V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}\pi .7{a^2}.3a = 7\pi {a^3}\).

=======