Biết rằng tồn tại duy nhất một giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 6x + m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \sqrt {5 – {x^2}} \). Giá trị \(m\) thuộc khoảng nào được cho dưới đây?

Câu hỏi: Biết rằng tồn tại duy nhất một giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 6x + m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \sqrt {5 – {x^2}} \). Giá trị \(m\) thuộc khoảng nào được cho dưới đây?

A. \(\left( { – \,\infty \,;\, – 6} \right)\).

B. \(\left( { – 6\,;\,0} \right)\).

C. \(\left( {0\,;\,6} \right)\).

D. \(\left( {6\,;\, + \,\infty } \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 6x + m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \sqrt {5 – {x^2}} \) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {5 – {x^2}} = {x^2} – 6x + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {\sqrt {5 – {x^2}} } \right)}^\prime } = {{\left( {{x^2} – 6x + m} \right)}^\prime }}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {5 – {x^2}} = {x^2} – 6x + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{{ – x}}{{\sqrt {5 – {x^2}} }} = 2x – 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)}\\{\left( 2 \right)}\end{array}\)

Phương trình (2) tương đương với \(\frac{x}{{\sqrt {5 – {x^2}} }} + 2x – 6 = 0\). (3)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {5 – {x^2}} }} + 2x – 6\) xác định, liên tục trên khoảng \(\left( { – \sqrt 5 \,;\,\sqrt 5 } \right)\) và \(f’\left( x \right) = \frac{5}{{{{\left( {\sqrt {5 – {x^2}} } \right)}^3}}} + 2 > 0\), \(\forall x \in \left( { – \sqrt 5 \,;\,\sqrt 5 } \right)\). Suy ra, hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – \sqrt 5 \,;\,\sqrt 5 } \right)\). Lúc đó, phương trình (3) tương đương với \(f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow x = 2.\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được \(m = 9\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số