Biết rằng có duy nhất giá trị \(m\) đểhàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{2019}^x}}}{{\ln 2019}} + \frac{{{{2020}^x}}}{{\ln 2020}} + m{x^2} – 2x\) đồng biến trến \(\mathbb{R}.\) Giá trị \(m\)thuộc khoảng nào sau đây?

Câu hỏi:
Biết rằng có duy nhất giá trị \(m\) đểhàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{2019}^x}}}{{\ln 2019}} + \frac{{{{2020}^x}}}{{\ln 2020}} + m{x^2} – 2x\) đồng biến trến \(\mathbb{R}.\) Giá trị \(m\)thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {\frac{{15}}{2};\,8} \right).\)

B. \(\left( { – 6;\, – 5} \right).\)

C. \(\left( { – 8;\, – 7} \right).\)

D. \(\left( { – 10;\, – 9} \right).\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow f’\left( x \right) = {2019^x} + {2020^x} + 2mx – 2 \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(m\)để hàm số \(g\left( x \right) = {2019^x} + {2020^x} + 2mx – 2 \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Ta có \(g’\left( x \right) = {2019^x}\ln 2019 + {2020^x}\ln 2020 + 2m,\,\,g”\left( x \right) = {2019^x}{\ln ^2}2019 + {2020^x}{\ln ^2}2020.\)

Nhận thấy \(g\left( 0 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \) đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\)đi qua góc tọa độ \(O\)nên để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì đồ thị \(g\left( x \right)\) phải tiếp xúc với trục hoành tại \(O\)\( \Leftrightarrow \)\(O\left( {0\,;\,0} \right)\)là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\)

Ta có \(g’\left( 0 \right) = 0\) \( \Leftrightarrow m = – \frac{{\ln 2019 + \ln 2020}}{2}\)\( \Leftrightarrow m = – \frac{{\ln (2019.2020)}}{2} \approx – 7,6…\)

và \(g”\left( 0 \right) = {\ln ^2}2019 + {\ln ^2}2020 > 0\)nên \(m = – \frac{{\ln (2019.2020)}}{2} \approx – 7,6…\)

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC