Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\,:{\,^{}}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\) có tâm là \(I\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) chứa \(d\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại hai tiếp … [Đọc thêm...] vềTrong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x – 2}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\,:{\,^{}}{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2\) có tâm là \(I\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) chứa \(d\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại hai tiếp điểm \(A,B\). Tìm toạ độ điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho thể tích khối chóp \(

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\). Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\,\,,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến là \(MA,\;MB,\;MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\). Biết rằng mặt phẳng … [Đọc thêm...] vềTrong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\). Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 – 2t\\z = t\end{array} \right.\,\,,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến là \(MA,\;MB,\;MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\). Biết rằng mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + 4z + 3 = 0\). Tính thể tích khối nón có đỉnh \(M\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0\;;\;8\;;\;2} \right)\) và mặt cầu (S) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\)và điểm \(B\left( {9\;;\; - 7\;;\;23} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\)sao cho … [Đọc thêm...] vềTrong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0\;;\;8\;;\;2} \right)\) và mặt cầu (S) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 72\)và điểm \(B\left( {9\;;\; – 7\;;\;23} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\)sao cho khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n = \left( {1\;;\;m\;;\;n} \right)\) là một véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\), hãy tính tích \(m.n\) biết \(m\,,\,n\) là các số nguyên.

Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 12\) và điểm \(A\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right)\), với \(a,b,c\) là những số nguyên. Qua \(A\) ta kẻ hai tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) tại những tiếp điểm \(M\) và \(N\). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm \(A\) để \(\widehat {MAN} = 120^\circ \)? A. \(12\). B. … [Đọc thêm...] vềTrong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {(y – 2)^2} + {z^2} = 12\) và điểm \(A\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right)\), với \(a,b,c\) là những số nguyên. Qua \(A\) ta kẻ hai tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) tại những tiếp điểm \(M\) và \(N\). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm \(A\) để \(\widehat {MAN} = 120^\circ \)?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) và điểm \(M\left( {1\,;\,3\,;\, - 1} \right)\). Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). … [Đọc thêm...] vềTrong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9\) và điểm \(M\left( {1\,;\,3\,;\, – 1} \right)\). Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Tính \(a + b + c\).

[Mức độ 3] Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD\,.\,A'B'C'D'\) tâm \(I\), có điểm \(C\left( {3\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)\) và điểm \(A'\left( { - 1\,;\,2\,;\,3} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu nội tiếp hình lập phương. Biết tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại điểm \(M\) trên đoạn \(IC\) có phương trình \(\left( P \right):ax + by + cz + 6 = … [Đọc thêm...] về[Mức độ 3] Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD\,.\,A’B’C’D’\) tâm \(I\), có điểm \(C\left( {3\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)\) và điểm \(A’\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu nội tiếp hình lập phương. Biết tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại điểm \(M\) trên đoạn \(IC\) có phương trình \(\left( P \right):ax + by + cz + 6 = 0\). Tính tích \(abc\).

[Mức độ 3] Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\) và hai điểm \(A\left( {5\,;\, - 3\,;\,3} \right)\), \(B\left( { - 2\,;\,2\,;\, - 2} \right)\). Gọi \(M\) là điểm di động trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua hai điểm \(A\), \(B\) … [Đọc thêm...] về[Mức độ 3] Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16\) và hai điểm \(A\left( {5\,;\, – 3\,;\,3} \right)\), \(B\left( { – 2\,;\,2\,;\, – 2} \right)\). Gọi \(M\) là điểm di động trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua hai điểm \(A\), \(B\) sao cho khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\left( P \right)\) là lớn nhất. Hỏi khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) nằm trong khoảng nào?

Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\) và điểm \(A\left( {4\,;\,4\,;\,0} \right)\). Gọi \(B\,\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\)là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) và diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(4\sqrt 3 \), (với … [Đọc thêm...] vềTrong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 12\) và điểm \(A\left( {4\,;\,4\,;\,0} \right)\). Gọi \(B\,\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\)là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) và diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(4\sqrt 3 \), (với \(O\) là gốc tọa độ). Khi đó \(a + b + c\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\). Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), \(M\)luôn thuộc mặt phẳng có phương trình A. \(6x + 8y + 11 = 0\). B. \(3x + … [Đọc thêm...] vềTrong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {2;3; – 1} \right)\). Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), \(M\)luôn thuộc mặt phẳng có phương trình

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 4z = 0\) và điểm \(A(4;4;0).\) Điểm \(B\) thuộc mặt cầu \((S)\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) và có diện tích bằng \(8.\) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm \(O,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B\) là A. \(z = 0\) B. \(z - y - z = 0.\) C. \(x - y + 2z = 0.\) D. \(x - y + z = 0.\) Lời … [Đọc thêm...] vềTrong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 4y – 4z = 0\) và điểm \(A(4;4;0).\) Điểm \(B\) thuộc mặt cầu \((S)\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) và có diện tích bằng \(8.\) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm \(O,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B\) là