Tính tích phân bằng phương pháp từng phần

Đây là loạt bài về tích phân, Tính tích phân bằng phương pháp từng phần

Phương pháp:

Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng  K  và \(a,b\) là hai số thuộc  K  thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b – \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)

Một số tích phân các hàm số dễ phát hiện $u$ và $\text{d}v$

Xem thêm: Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1)  \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)

Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} – \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).

2)  \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} – 1)\ln xdx}\)

Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} – 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} – 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} – 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 – \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 3}}{3}} dx = \frac{{2\ln 2}}{3} – \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} – x} \right)} \right|_1^2\)\(= \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}\).

3) ${I} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} $

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = x \to du = dx\\
dv = {e^x}dx \to v = {e^x}
\end{array} \right.\quad $
${I} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. {x.{e^x}} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {{e^x}} dx = e – \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e – \left( {e – 1} \right) = 1$

4) ${I} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}.\cos xdx}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2} \to du = 2xdx\\
dv = \cos xdx \to v = \sin x
\end{array} \right.\quad $

Vậy: $\int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. { – x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} – 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta đi tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \quad$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = x \to du = dx\\
dv = \sin xdx \to v = – \cos x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} = \left. { – x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = \left. { – x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$
Thế vào (1) ta được: ${I} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \frac{{{\pi ^2} – 8}}{4}$

5) ${I} = \int\limits_1^e {\ln xdx}$

Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = – \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\
dv = dx \to v = x
\end{array} \right.\quad $

Vậy: ${I} = \int\limits_1^e {\ln xdx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e – \int\limits_1^e {dx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e – \left. x \right|_0^e = 1$

6) ${I} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\
dv = \sin xdx \to v = – \cos x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: ${I} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} = \left. { – {e^x}.\cos x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx = {e^\pi } + 1 + J\quad \left( 1 \right)} $

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\
dv = \cos xdx \to v = \sin x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: $J = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi – \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} = – I$
Thế vào (1) ta được: $2{I} = {e^\pi } + 1 \to {I_1} = \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$