Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2: 

Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

\(\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) – \int {u'(x)v(x)dx}\)

Công thức ngắn gọn: \(\int {udx} = u.v – \int {vdu}\)

Một số dạng thường gặp:

• Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)

Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)

• Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)

Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)

Nhớ: đặt u là “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” còn lại đặt dv

Ví dụ 1: đạng 1

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

1) ${I} = \int {x{e^{x}}dx} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^{x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^{x}}
\end{array} \right.$

$\Rightarrow {I} = x{e^{x}} – \int {{e^{x}}dx}=x{e^{x}} – e^{x} + C$

==========

2) \(I = \int {x{\rm{sin2}}xdx}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = – \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)

=============

3) \(I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)\(\Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – {I_1}\)

Tính \({I_1} = \int {x{e^{2x}}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{4}{e^{2x}} + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} – 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C\)

==========

4) \(I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2{x^2} + x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \left( {4x + 1} \right)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} – \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Tính: \({I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 4x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 4dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} – 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} – 4{e^x} + C = \left( {4x – 3} \right){e^x} + C\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} – \left( {4x – 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} – 3x + 4} \right){e^x} + C\)

============

5) \(I = \int {x{{\cos }^2}2xdx}\)

\(\begin{array}{l} I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx\\ = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1} \end{array}\)

Tính \({I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \frac{1}{2}x\\ dv = \cos 4xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{2}dx\\ v = \frac{1}{4}\sin 4x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x – \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

==============

Ví dụ 2: đạng 2

1) $I=\int xlnxdx$

$\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\\dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\end{array} \right.$

$I=\frac{x^2}{2}ln x-\frac{1}{2}\int xdx$
$=\frac{x^2}{2}ln x-\frac{x^2}{4}+C$

=============

2) Tính $\int {\left( {{x^2} – 3x} \right)\ln xdx} $

Giải

$\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\\dv = \left( {{x^2} – 3x} \right)dx \Rightarrow v = \frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \int {\left( {{x^2} – 3x} \right)\ln xdx} = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x – \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}} \right)\frac{1}{x}dx} $

$ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x – \int {\left( {\frac{1}{3}{x^2} – \frac{3}{2}x} \right)dx} $

$ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x – \left( {\frac{1}{6}{x^3} – \frac{3}{4}{x^2}} \right)$

=============

Ví dụ 3: khác

1) $I=\int {{e^x}\cos xdx}$  (từng phần 2 lần)

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = cosx \Rightarrow du = -sinxdx\\dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\end{array} \right.$

\(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\cos x + \int {{e^x}\sin xdx}\)

$J=\int {{e^x}\sin xdx}$ đặt như trên

Ta có: \(\int {{e^x}\sin xdx} = {e^x}\sin x – \int {{e^x}\cos xdx}\)

Do đó ta có:

\(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x + {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos xdx}\)

\(\Rightarrow \int {{e^x}\cos xdx} = \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right)\)

============

2) $I = \int {\sin \sqrt x dx}$  (kết hợp 2 phương pháp.

Đặt $\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = \int {\sin t.\left( {2tdt} \right)} = \int {2t\sin tdt} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 2t\\
dv = \sin tdt
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2dt\\
v = – \cos t
\end{array} \right. \Rightarrow I = – 2t\cos t + 2\int {\cos tdt} = – 2t\cos t + 2\sin t + C$

Vậy $I = 2\sin \sqrt x – 2\sqrt x \cos \sqrt x + C$