Thông qua bài viết này các sẽ nắm được khái niệm, các tính chất của nguyên hàm . công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số cơ bản, các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số là phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần.
1. Định nghĩa và tính chất
a) Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của \(\mathbb{R}.\)
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên K.
Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K.\)
- Ví dụ 1: $\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = {x^3}\\f\left( x \right) = 3{x^2}\end{array} \right.$
- Ví dụ 2: $\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = \cos x\\f\left( x \right) = – \sin x\end{array} \right.$
Định lý 1:
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G(x) = F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K.
Định lý 2:
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên K đều có dạng \(F(x)+C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(\int f(x)dx.\)
Khi đó : \(\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)
VÍ DỤ: $\begin{array}{l}
\int {{x^4}dx = \frac{1}{5}{x^5} + C;\,} \\
\int {\cos xdx = \sin x + C}
\end{array}$
b) Tính chất
- Tính chất 1: \(\int f'(x)dx=f(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)
- Tính chất 2: \(\int fk(x)dx=k\int f(x)dx\) (với k là hằng số khác 0).
- Tính chất 3 : \(\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx}.\)
- Tính chất 4 : \(\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx}.\)
c) Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
d) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
- Bảng Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:
- \(\int {kdx = kx + C,\,k \in \mathbb{R}}\)
- \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{1 + \alpha }}.{x^{\alpha + 1}} + C\,(\alpha \ne – 1)}\)
- \(\int \frac{1}{x}dx=\ln\left | x \right |+C\)
- \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C}\)
- \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}\)
- \(\int {\cos xdx = \sin x + C}\)
- \(\int {\sin xdx = – \cos x + C}\)
- \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}\)
- \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = – \cot x + C}\)
- Bảng nguyên hàm mở rộng:
- \(\int {{{({\rm{ax}} + b)}^k}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{{\rm{(ax}} + b)}^{k + 1}}}}{{k + 1}}\, + C\,,(a \ne 0,\,k \ne – 1)}\)
- \(\int {\frac{1}{{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {{\rm{ax}} + b} \right|} + C,\,a \ne 0\)
- \(\int {{e^{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}} + b}} + C}\)
- $\int a^{mx+n}dx=\frac{1}{m}\frac{a^{mx+n}}{lna}+C$
- \(\int {c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx = \frac{1}{a}\sin ({\rm{ax}} + b)} + C\)
- \(\int {\sin ({\rm{ax}} + b)dx = – \frac{1}{a}c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)} + C\)
- \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(ax+b)}} = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C}\)
- \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}(ax+b)}} = -\frac{1}{a}\cot(ax+b) + C}\)
Xem thêm các ví dụ:
2. Các phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Định lí 1:
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số \(u = u(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số \(y = f({\rm{u)}}\) liên tục sao cho \(f[u(x)]\) xác định trên K. Khi đó nếu \(F\) là một nguyên hàm của \(f\), tức là \(\int {f(u)du = F(u) + C}\) thì \(\int {f[u(x){\rm{]dx = F[u(x)] + C}}}.\)
Hệ quả:
Với \(u = ax + b\,(a \ne 0),\) ta có:
\(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí 2:
Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K thì:
\(\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) – \int {u'(x)v(x)dx}\)
Công thức ngắn gọn: $\int {udv} = uv – \int {vdu}$
Một số dạng thường gặp:
- Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)
Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)
- Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)
Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)
- Dạng 3: Có $e^x$ và hàm lượng giác thì đặt 2 lần giống nhau.
Mời các bạn xem
================
Để lại một bình luận