Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm

Bài tập minh họa về tính nguyên hàm Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: ( hàm đa thức, khai triển hằng đẳng thức)

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, tính nguyên hàm sau:

1. \(\int {2dx = 2x + C} \)
2. \(\int {xdx = \frac{1}{2}{x^2} + C} \)
3. \(\int {2{x^5}dx = \frac{2}{6}{x^6} + C = \frac{1}{3}{x^6} + C} \)
4. \(I = \int {{x^8}}dx\) = \(\frac{1}{9}{x^9} + C\)
5. \(I=\int \left ( x^2+2x \right )^2dx\) =  \(\int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C}\)
6. $I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ – 5}}dx = \frac{1}{{ – 5 + 1}}{x^{ – 5 + 1}} + C = } } – \frac{1}{4}{x^{ – 4}} + C$
7. \(I=\int\frac{1}{2x}dx\) = \( \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}\)
8. \(\int {\frac{1}{{\sqrt x }}dx = 2\sqrt x  + C} \)
9. \(\int {\frac{3}{{\sqrt x }}dx = 3.2\sqrt x  + C = 6\sqrt x  + C} \)

==============

Ví dụ 2: ( hàm lượng giác cơ bản)

1. \(\int {\sin {\rm{x}}dx}  =  – \cos x + C\)
2. \(\int {\sin 2xdx}  =  – \frac{1}{2}c{\rm{os}}2x + C\)
3. \(\int {\cos(2x-3)dx}  = \frac{1}{2}\sin(2x-3) + C\)
4. \(\int {c{\rm{os}}\frac{x}{2}dx}  =  – 2\sin \frac{x}{2} + C\)
5. \(\int {\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}dx}  = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} + C\)
6. \(\int {(1 + {{\tan }^2}x)dx}  = \int {\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}dx = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} + C} \)
7. \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  =  – \cot x + C\)
8. \(\int {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dx}  = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  =  – \cot x + C\)
9. \(\int {2{{\sin }^2}xdx}  = \int {(1 – c{\rm{os}}2x)dx}  = x – \frac{1}{2}\sin 2x + C\)
10. \(\int {\sin x\sin 3xdx}  = \int {\frac{1}{2}(c{\rm{os}}2x – c{\rm{os}}4x)dx}  = \frac{1}{2}\int {(c{\rm{os}}2x – c{\rm{os}}4x)dx} \)
    \( = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C = \frac{1}{4}\sin 2x – \frac{1}{8}\sin 4x + C\)

=============

Ví dụ 3: ( hàm mũ)

1. \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\)
2. \(\int {{e^{3x}}dx}  = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\)
3. $\int {{3^{2x}}dx}  = \frac{1}{2}\frac{3^{2x}}{ln3} + C$
4. \(\int {({e^x} + 1){e^x}dx}  = \int {({e^{2x}} + {e^x})dx}  = \frac{1}{2}{e^{2x}} + {e^x} + C\)
5. \(\int {\frac{4}{{{e^{3x}}}}dx}  = \int {4.{e^{ – 3x}}dx = \frac{4}{{ – 3}}{e^{ – 3x}} + C} \)

==============

Ví dụ 4: ( hàm phân thức đơn giản)

– Trong phần này chúng ta sẽ làm những bài tập nguyên hàm của hàm phân thức. Để hiểu được phần này chúng ta phải có một số kĩ năng sau:
1. Thành thạo phép chia đa thức
2. Thành thạo hằng đẳng thức
3. Thành thạo các phép toán cộng, trừ, nhân chia, thêm bớt, tách ghép,… để phân tích một biểu thức thành tích
4. Tất nhiên không thể thiếu bảng nguyên hàm vì bảng nguyên hàm là đích đến có nghĩa nó chính là định hướng của bài toán.
Dạng: $I = \int {\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}dx}$(trong đó P(x); Q(x) là những đa thức của x)

1. \(\int_{}^{} {\frac{1}{{x + 1}}dx}  = \ln |x + 1| + C\)
2. \(\int_{}^{} {\frac{3}{{2x + 1}}dx}  = \frac{3}{2}\ln |2x + 1| + C\)
3. \(\int_{}^{} {\frac{{2x – 3}}{{x + 1}}dx}  = \int_{}^{} {\frac{{2(x + 1) – 5}}{{x + 1}}dx}  = \int_{}^{} {\left( {2 – \frac{5}{{x + 1}}} \right)dx}  = 2x – 5\ln |x + 1| + C\)
4. \(\int_{}^{} {\frac{{{x^2} – 3}}{{x + 2}}dx}  = \int_{}^{} {\frac{{{x^2} – 4 + 1}}{{x + 2}}dx}  = \int_{}^{} {\frac{{(x – 2)(x + 2) + 1}}{{x + 2}}dx} \)
   \( = \int_{}^{} {\left( {x – 2 + \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx}  = \frac{1}{2}{x^2} – 2x + \ln |x + 2| + C\)
5. \(\int_{}^{} {\frac{{2{x^2} + x – 1}}{{3x – 1}}dx}  = \int_{}^{} {\left( {\frac{2}{3}x + \frac{5}{9} + \frac{{ – \frac{4}{9}}}{{3x – 1}}} \right)dx} \)
   \( = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}{x^2} + \frac{5}{9}x – \frac{4}{9}.\frac{1}{3}\ln |3x – 1| + C\)
   \( = \frac{1}{3}{x^2} + \frac{5}{9}x – \frac{4}{{27}}\ln |3x – 1| + C\)
6. \(\int_{}^{} {\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}dx}  = \frac{{ – 1}}{{x + 1}} + C\)
7. \(\int_{}^{} {\frac{{x + 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}dx}  = \int_{}^{} {\frac{{x – 1 + 3}}{{{{(x – 1)}^2}}}dx}  = \int_{}^{} {\left( {\frac{{x – 1}}{{{{(x – 1)}^2}}} + \frac{3}{{{{(x – 1)}^2}}}} \right)dx} \)
   \( = \int_{}^{} {\left( {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{3}{{{{(x – 1)}^2}}}} \right)dx}  = \ln |x – 1| + \frac{{ – 3}}{{x – 1}} + C\)
8. \(\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{(x – 1)(x – 2)}}} \)
   Dùng công thức: \(\int_{}^{} {\frac{1}{{(x – a)(x – b)}}dx = \int_{}^{} {\frac{1}{{a – b}}\left( {\frac{1}{{x – a}} – \frac{1}{{x – b}}} \right)dx} } \)
   \(\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{(x – 1)(x – 2)}}}  = \int_{}^{} {\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x – 1}}} \right)dx}  = \ln |x – 2| – \ln |x – 1| + C\)
   \( = \ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x – 1}}} \right| + C\)
9. \(\int_{}^{} {\frac{{3x – 4}}{{(2x – 1)(x + 2)}}dx}  = \int_{}^{} {\left( {\frac{{2(2x – 1) – 1(x + 2)}}{{(2x – 1)(x + 2)}}} \right)dx}  = \int_{}^{} {\left( {\frac{2}{{x + 2}} – \frac{1}{{2x – 1}}} \right)dx} \)
   \( = 2\ln |x + 2| – \ln |2x – 1| + C\)
   —-
   \(\frac{{3x – 4}}{{(2x – 1)(x + 2)}} = \frac{{A(2x – 1) + B(x + 2)}}{{(2x – 1)(x + 2)}} \Rightarrow 3x – 4 = A(2x – 1) + B(x + 2)\)
   \(x = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{3}{2} – 4 = B\left( {\frac{1}{2} + 2} \right) \Rightarrow \frac{5}{2}B =  – \frac{5}{2} \Rightarrow B =  – 1\)
   \(x =  – 2 \Rightarrow 3( – 2) – 4 = A\left[ {2.( – 2) – 1} \right] \Rightarrow  – 5A =  – 10 \Rightarrow A = 2\)

Mời các bạn xem các phần tiếp theo bên dưới..