📌 Đề bài:
Khẳng định nào sau đây đúng về tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính chẵn, lẻ của một hàm số lượng giác $y = f(x)$ trên tập xác định $D$, ta thực hiện theo hai bước chuẩn sau:
- Bước 1 (Kiểm tra tập đối xứng): Tìm tập xác định $D$ của hàm số và kiểm tra xem: $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$. Nếu điều kiện này không thỏa mãn, hàm số không chẵn cũng không lẻ.
- Bước 2 (Kiểm tra giá trị đối xứng): Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$:
- Nếu $f(-x) = f(x), \forall x \in D$ thì $y = f(x)$ là hàm số chẵn.
- Nếu $f(-x) = -f(x), \forall x \in D$ thì $y = f(x)$ là hàm số lẻ.
- Nếu tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(-x_0) \neq \pm f(x_0)$ thì hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Các công thức lượng giác góc đối cần nhớ: $\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$, do đó $\sin^2(-x) = [-\sin x]^2 = \sin^2 x$. Kiến thức này cũng tương tự khi làm bài toán xét tính chẵn lẻ của biểu thức chứa sin bình phương.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số $y = f(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức là:
$$1 + \sin^2 x \neq 0$$
Vì $\sin^2 x \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên $1 + \sin^2 x \ge 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
Dễ thấy với mọi $x \in D$, ta luôn có $-x \in D$ (tập xác định là một tập đối xứng).
Bước 2: Tính và so sánh $f(-x)$ với $f(x)$
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có:
$$f(-x) = \frac{\cos(-x)}{1 + \sin^2(-x)}$$
Áp dụng tính chất lượng giác của hai cung đối nhau:
$$\cos(-x) = \cos x$$
$$\sin(-x) = -\sin x \implies \sin^2(-x) = [-\sin x]^2 = \sin^2 x$$
Thay vào biểu thức ta được:
$$f(-x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} = f(x)$$
Tương tự như cách phân tích trong bài tính chẵn lẻ của hàm số kết hợp, việc biến đổi cẩn thận dấu trừ của từng thành phần giúp ta xác định chính xác tính chất đối xứng.
Vì $f(-x) = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên hàm số đã cho là hàm số chẵn.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn A.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = x^2 \cos 3x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có: $f(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(-3x) = x^2 \cos(3x) = f(x)$.
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ là hàm số chẵn.
Bài tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \frac{\sin 3x}{x^2 + 4}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– Với mọi $x \in D$, ta có $-x \in D$ và:
$$f(-x) = \frac{\sin(-3x)}{(-x)^2 + 4} = \frac{-\sin 3x}{x^2 + 4} = -f(x)$$
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ là hàm số lẻ.
Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \tan x + \sin 2x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$ là tập đối xứng.
– Ta có: $f(-x) = \tan(-x) + \sin(-2x) = -\tan x – \sin 2x = -(\tan x + \sin 2x) = -f(x)$. (Xem thêm cách giải chi tiết ở bài viết xét tính chẵn lẻ của hàm số y = sin 2x + tan x).
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ là hàm số lẻ.
Bài tập 4: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \cos 2x + \sin x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– Xét $x = \frac{\pi}{2} \in D$:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\pi + \sin\frac{\pi}{2} = -1 + 1 = 0$.
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos(-\pi) + \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 – 1 = -2$.
Vì $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) \neq f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ và $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) \neq -f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, nên hàm số không thỏa mãn định nghĩa hàm chẵn hay hàm lẻ.
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ không chẵn cũng không lẻ.
Bài tập 5: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \frac{|\sin x|}{\cos 4x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– Tập xác định $D$ đối xứng qua gốc tọa độ $O$.
– Với mọi $x \in D$:
$$f(-x) = \frac{|\sin(-x)|}{\cos(-4x)} = \frac{|-\sin x|}{\cos 4x} = \frac{|\sin x|}{\cos 4x} = f(x)$$
Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ là hàm số chẵn.
Để lại phản hồi