📌 Đề bài:
Khẳng định nào sau đây đúng về tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = 2\cos 3x + 5\sin^2 x$?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xét tính chẵn, lẻ của một hàm số lượng giác $y = f(x)$, ta thực hiện theo hai bước chuẩn sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số. Kiểm tra tính đối xứng của $D$: Với mọi $x \in D$, suy ra $-x \in D$. Tương tự như kỹ năng tìm tập xác định của hàm số lượng giác, nếu tập xác định không đối xứng thì hàm số không chẵn không lẻ.
- Bước 2: Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$:
- Nếu $f(-x) = f(x)$ với mọi $x \in D$ thì $f(x)$ là hàm số chẵn (đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng).
- Nếu $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x \in D$ thì $f(x)$ là hàm số lẻ (đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng).
- Nếu tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(-x_0) \neq \pm f(x_0)$ thì hàm số không chẵn và không lẻ.
Các công thức lượng giác đối xứng cần nhớ:
• $\cos(-u) = \cos u$ (hàm cosin là hàm chẵn).
• $\sin(-u) = -\sin u$, $\tan(-u) = -\tan u$, $\cot(-u) = -\cot u$ (các hàm số lẻ).
• Lưu ý: $[\sin(-u)]^2 = [-\sin u]^2 = \sin^2 u$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Ta xét hàm số $f(x) = 2\cos 3x + 5\sin^2 x$:
Bước 1: Tìm tập xác định
Hàm số $f(x)$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, tập xác định của hàm số là: $$D = \mathbb{R}$$
Rõ ràng với mọi $x \in D$, ta luôn có $-x \in D$ (tập $D$ là tập đối xứng qua gốc tọa độ).
Bước 2: Xét giá trị $f(-x)$
Với mọi $x \in D$, ta có:
$$f(-x) = 2\cos[3(-x)] + 5[\sin(-x)]^2$$
Áp dụng công thức cung đối $\cos(-3x) = \cos 3x$ và $\sin(-x) = -\sin x$, ta thu được:
$$f(-x) = 2\cos(3x) + 5(-\sin x)^2 = 2\cos 3x + 5\sin^2 x$$
Nhận thấy biểu thức nhận được chính là $f(x)$:
$$f(-x) = f(x), \quad \forall x \in D$$
Như đã thấy ở bài viết xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = x\sin 2x + \cos x$, khi $f(-x) = f(x)$ thì hàm số đã cho là một hàm số chẵn.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \sin 4x – 3\sin 2x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• Xét $f(-x) = \sin(-4x) – 3\sin(-2x) = -\sin 4x + 3\sin 2x = -(\sin 4x – 3\sin 2x) = -f(x)$.
• Kết luận: $f(x)$ là hàm số lẻ. Tham khảo thêm dạng này qua bài tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác cơ bản.
Bài tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \cos x \cdot \sin^3 x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• Ta có: $f(-x) = \cos(-x) \cdot [\sin(-x)]^3 = \cos x \cdot [-\sin x]^3 = -\cos x \cdot \sin^3 x = -f(x)$.
• Kết luận: $f(x)$ là hàm số lẻ.
Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = |\sin x| + 3\cos 2x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• Ta có: $f(-x) = |\sin(-x)| + 3\cos(-2x) = |-\sin x| + 3\cos 2x = |\sin x| + 3\cos 2x = f(x)$.
• Kết luận: $f(x)$ là hàm số chẵn.
Bài tập 4: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \sin x + \cos x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• Ta có: $f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x$.
• Nhận xét: $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)$ (ví dụ với $x = \frac{\pi}{4}$ thì $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$, trong khi $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 0$).
• Kết luận: Hàm số $f(x)$ không chẵn, không lẻ.
Bài tập 5: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \frac{\tan 2x}{x^2 + 4}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z} \right\}$. Dễ thấy nếu $x \in D$ thì $-x \in D$.
• Ta có: $f(-x) = \frac{\tan(-2x)}{(-x)^2 + 4} = \frac{-\tan 2x}{x^2 + 4} = -f(x)$.
• Kết luận: $f(x)$ là hàm số lẻ.
Để lại phản hồi