📌 Đề bài:
Khẳng định nào sau đây đúng về tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \sin x \cdot \cos 2x$?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để xác định tính chẵn, lẻ của một hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập hợp $D$, ta thực hiện theo hai bước chuẩn sau:
- Bước 1 (Kiểm tra tập đối xứng): Chứng minh tập xác định $D$ là tập đối xứng qua gốc tọa độ, tức là: $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$.
- Bước 2 (Tính $f(-x)$ và so sánh):
- Nếu $f(-x) = f(x), \forall x \in D$ thì $f(x)$ là hàm số chẵn (đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng).
- Nếu $f(-x) = -f(x), \forall x \in D$ thì $f(x)$ là hàm số lẻ (đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng).
- Nếu tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(-x_0) \neq \pm f(x_0)$ thì hàm số không chẵn cũng không lẻ.
- Công thức góc đối: Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$, $\tan(-x) = -\tan x$, $\cot(-x) = -\cot x$.
💡 Bạn cũng có thể xem thêm dạng tương tự tại bài viết Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác cơ bản hoặc bài viết nhận biết hàm số chẵn.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét hàm số: $f(x) = \sin x \cdot \cos 2x$.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số lượng giác $y = \sin x$ và $y = \cos 2x$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Do đó, tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
Dễ thấy với mọi $x \in D$, ta luôn có $-x \in D$ (tập xác định là một tập đối xứng qua gốc tọa độ $O$).
Bước 2: Tính giá trị $f(-x)$
Với mọi $x \in D$, thay $x$ bởi $-x$ vào biểu thức của hàm số, ta được:
$$f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(2(-x)) = \sin(-x) \cdot \cos(-2x)$$
Áp dụng các tính chất cơ bản của cung liên kết (hai góc đối nhau):
- $\sin(-x) = -\sin x$
- $\cos(-2x) = \cos 2x$
Suy ra:
$$f(-x) = (-\sin x) \cdot \cos 2x = -(\sin x \cdot \cos 2x) = -f(x)$$
Bước 3: Kết luận
Vì $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x \in D$, nên hàm số $y = f(x) = \sin x \cdot \cos 2x$ là một hàm số lẻ.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \cos x \cdot \cos 3x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• Ta có: $f(-x) = \cos(-x) \cdot \cos(-3x) = \cos x \cdot \cos 3x = f(x)$.
• Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Bài tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \sin^3 x + 2\sin x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• Ta có: $f(-x) = [\sin(-x)]^3 + 2\sin(-x) = (-\sin x)^3 – 2\sin x = -\sin^3 x – 2\sin x = -(\sin^3 x + 2\sin x) = -f(x)$.
• Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài tập 3: Khẳng định nào đúng về tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = x^2 + \cos 4x$?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• Ta có: $f(-x) = (-x)^2 + \cos(4(-x)) = x^2 + \cos(-4x) = x^2 + \cos 4x = f(x)$.
• Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Bài tập 4: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = \sin x + \cos x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• Ta có: $f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x$.
• Chọn $x = \frac{\pi}{4}$: $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
• Ta có: $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.
• Do $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) \neq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ và $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) \neq -f\left(\frac{\pi}{4}\right)$, nên hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Bài tập 5: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x) = |\sin 2x| + \cos x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Ta có: $f(-x) = |\sin(-2x)| + \cos(-x) = |-\sin 2x| + \cos x = |\sin 2x| + \cos x = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
• Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. (Xem thêm ví dụ đối xứng tương tự tại bài viết về tính chẵn lẻ của phân thức lượng giác).
Để lại phản hồi