📌 Đề bài:
Tính giá trị đúng của biểu thức lượng giác: $$P = \frac{1}{\sin 10^\circ} – \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán kết hợp giữa quy đồng và công thức nhân đôi lượng giác, ta cần thực hiện theo các bước sau:
- Quy đồng mẫu số chung: Mẫu số chung là $\sin 10^\circ \cos 10^\circ$.
- Biến đổi tử số về dạng góc cộng: Xuất hiện biểu thức dạng $a\sin x + b\cos x$, ta đưa thừa số $\sqrt{a^2 + b^2} = 2$ ra ngoài: $\cos 10^\circ – \sqrt{3}\sin 10^\circ = 2\left(\frac{1}{2}\cos 10^\circ – \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^\circ\right) = 2\sin(30^\circ – 10^\circ)$.
- Áp dụng công thức nhân đôi ở mẫu số: $\sin 10^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2}\sin 20^\circ$.
- Triệt tiêu và rút gọn: Chia tử và mẫu cho $\sin 20^\circ$ để ra hằng số. Kỹ thuật này cũng thường gặp trong các bài toán tính giá trị biểu thức lượng giác tích các cos.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Quy đồng mẫu số biểu thức $P$
Ta có:
$$P = \frac{1}{\sin 10^\circ} – \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} = \frac{\cos 10^\circ – \sqrt{3}\sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$$
Bước 2: Biến đổi biểu thức ở tử số
Nhân và chia tử số với $2$:
$$\cos 10^\circ – \sqrt{3}\sin 10^\circ = 2\left(\frac{1}{2}\cos 10^\circ – \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^\circ\right)$$
Vì $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ và $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, áp dụng công thức hiệu $\sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b$:
$$2\left(\sin 30^\circ \cos 10^\circ – \cos 30^\circ \sin 10^\circ\right) = 2\sin(30^\circ – 10^\circ) = 2\sin 20^\circ$$
Bước 3: Biến đổi biểu thức ở mẫu số
Áp dụng công thức nhân đôi $\sin 2a = 2\sin a \cos a \implies \sin a \cos a = \frac{1}{2}\sin 2a$:
$$\sin 10^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 10^\circ) = \frac{1}{2}\sin 20^\circ$$
Bước 4: Tính giá trị biểu thức $P$
Thay tử số và mẫu số vừa biến đổi vào $P$:
$$P = \frac{2\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\sin 20^\circ} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$$
👉 Kết luận: Giá trị của biểu thức là $P = 4$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} – \frac{1}{\cos 20^\circ}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Quy đồng: $A = \frac{\sqrt{3}\cos 20^\circ – \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} = \frac{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 20^\circ – \frac{1}{2}\sin 20^\circ\right)}{\frac{1}{2}\sin 40^\circ} = \frac{2\sin(60^\circ – 20^\circ)}{\frac{1}{2}\sin 40^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ}{\frac{1}{2}\sin 40^\circ} = 4$.
Đáp số: $A = 4$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức lượng giác $B = \frac{\sin 3x}{\sin x} – \frac{\cos 3x}{\cos x}$ với $x \ne \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Quy đồng mẫu số chung: $B = \frac{\sin 3x \cos x – \cos 3x \sin x}{\sin x \cos x} = \frac{\sin(3x – x)}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{\sin 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2$.
Đáp số: $B = 2$.
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức $C = \sin 15^\circ \cos 15^\circ + \cos^2 15^\circ – \sin^2 15^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng các công thức nhân đôi:
$\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sin 30^\circ = \frac{1}{4}$
$\cos^2 15^\circ – \sin^2 15^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Suy ra $C = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{4}$.
Đáp số: $C = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{4}$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức rút gọn biểu thức lượng giác $D = \frac{\cos 4x}{\cot 2x – \tan 2x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Biến đổi mẫu số: $\cot 2x – \tan 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} – \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos^2 2x – \sin^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 4x}{\frac{1}{2}\sin 4x} = 2\cot 4x$.
Do đó: $D = \frac{\cos 4x}{2\frac{\cos 4x}{\sin 4x}} = \frac{1}{2}\sin 4x$.
Đáp số: $D = \frac{1}{2}\sin 4x$.
Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức $E = 16\sin 10^\circ \sin 30^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Vì $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, ta có $E = 8\sin 10^\circ \cos 40^\circ \cos 20^\circ = 8\cos 80^\circ \cos 40^\circ \cos 20^\circ$.
Nhân cả hai vế với $\sin 20^\circ$: $E \sin 20^\circ = 8\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 4\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 2\sin 80^\circ \cos 80^\circ = \sin 160^\circ = \sin 20^\circ$.
Suy ra $E = 1$.
Đáp số: $E = 1$.
Để lại phản hồi