Cho hàm số $y = x^4 – 4x^2 + 1$. Xét tính đúng sai:

1. Tập xác định và tính đạo hàm:

Hàm số đã cho xác định trên $D = \mathbb{R}$.

Ta có đạo hàm: $y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2)$.

Giải phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = \sqrt{2} \\ &x = -\sqrt{2} \end{aligned}\right.$

2. Xét dấu đạo hàm và xác định cực trị:

– Đạo hàm $y’$ đổi dấu qua các nghiệm đơn $x = -\sqrt{2}$, $x = 0$, $x = \sqrt{2}$. Do đó, hàm số có đúng 3 điểm cực trị. $\Rightarrow$ Mệnh đề a) ĐÚNG.

– Ta có $y” = 12x^2 – 8$:
+ Tại $x = 0$, $y”(0) = -8 < 0 \implies x = 0$ là điểm cực đại của hàm số. $\Rightarrow$ Mệnh đề b) ĐÚNG.
+ Tại $x = \pm \sqrt{2}$, $y”(\pm\sqrt{2}) = 12(2) – 8 = 16 > 0 \implies x = \sqrt{2}$ và $x = -\sqrt{2}$ là hai điểm cực tiểu của hàm số. $\Rightarrow$ Mệnh đề c) ĐÚNG.

3. Xét tính chất tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị:

Tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
+ Điểm cực đại: $A(0; 1)$
+ Hai điểm cực tiểu: $B(\sqrt{2}; -3)$ và $C(-\sqrt{2}; -3)$ (Xem thêm bài toán liên quan: điểm cực tiểu của đồ thị hàm số).

Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$:
+ $BC = \sqrt{(-\sqrt{2} – \sqrt{2})^2 + (-3 – (-3))^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2}$
+ $AB = \sqrt{(\sqrt{2} – 0)^2 + (-3 – 1)^2} = \sqrt{2 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
+ $AC = \sqrt{(-\sqrt{2} – 0)^2 + (-3 – 1)^2} = \sqrt{2 + 16} = 3\sqrt{2}$

Ta thấy $AB = AC = 3\sqrt{2} \neq BC = 2\sqrt{2}$, do đó $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$ nhưng không phải là tam giác đều. $\Rightarrow$ Mệnh đề d) SAI.

👉 Kết luận Đúng/Sai: a) ĐÚNG, b) ĐÚNG, c) ĐÚNG, d) SAI (Đáp án: A, B, C)