Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi u_{n+1} = 2u_n + 5

Dạng toán: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bậc nhất

Hệ thức truy hồi bậc nhất có dạng: $u_{n+1} = au_n + b$ (với $a \neq 1, a \neq 0$).

Phương pháp giải:

• Bước 1: Giải phương trình đặc trưng $c = ac + b$ để tìm hằng số $c$.
• Bước 2: Đặt dãy phụ $v_n = u_n – c$. Biến đổi để chứng minh $(v_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q = a$.
• Bước 3: Viết công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân $(v_n)$: $v_n = v_1 \cdot q^{n-1}$.
• Bước 4: Suy ra công thức của dãy ban đầu: $u_n = v_n + c$.

Bài toán minh họa

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $u_1 = 3$ và $u_{n+1} = 2u_n + 5$ với mọi $n \ge 1$. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hệ thức $u_{n+1} = 2u_n + 5$. Nhận thấy $a = 2, b = 5$.

Xét phương trình $c = 2c + 5 \Leftrightarrow c = -5$.

Biến đổi hệ thức truy hồi đã cho về dạng: $u_{n+1} + 5 = 2(u_n + 5)$.

Đặt $v_n = u_n + 5$. Khi đó, ta có $v_1 = u_1 + 5 = 3 + 5 = 8$.

Hệ thức trở thành $v_{n+1} = 2v_n$. Do đó, $(v_n)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $v_1 = 8$ và công bội $q = 2$.

Số hạng tổng quát của dãy $(v_n)$ là: $v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 8 \cdot 2^{n-1} = 2^3 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+2}$.

Vì $v_n = u_n + 5$ nên $u_n = v_n – 5 = 2^{n+2} – 5$.

Kết luận: Số hạng tổng quát của dãy số là $u_n = 2^{n+2} – 5$.

Bài tập làm thêm (Tự luyện)

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em tự rèn luyện. Hãy làm thử trước khi đối chiếu với đáp án nhé!

Bài 1: Cho dãy số $(u_n)$: $u_1 = 4, u_{n+1} = 3u_n – 4$. Tìm $u_n$.

Bài 2: Cho dãy số $(u_n)$: $u_1 = 1, u_{n+1} = 4u_n + 3$. Tìm $u_n$.

Bài 3: Cho dãy số $(u_n)$: $u_1 = 5, u_{n+1} = -2u_n + 6$. Tìm $u_n$.

Bài 4: Cho dãy số $(u_n)$: $u_1 = -1, u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$. Tìm $u_n$.

Bài 5: Cho dãy số $(u_n)$: $u_1 = 0, u_{n+1} = 5u_n – 8$. Tìm $u_n$.

Xem đáp án và lời giải

Bài 1: Giải $c = 3c – 4 \Rightarrow c = 2$. Đặt $v_n = u_n – 2 \Rightarrow v_{n+1} = 3v_n$, $v_1 = 2$. Suy ra $v_n = 2 \cdot 3^{n-1}$. Vậy $u_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 2$.

Bài 2: Giải $c = 4c + 3 \Rightarrow c = -1$. Đặt $v_n = u_n + 1 \Rightarrow v_{n+1} = 4v_n$, $v_1 = 2$. Suy ra $v_n = 2 \cdot 4^{n-1}$. Vậy $u_n = 2 \cdot 4^{n-1} – 1$.

Bài 3: Giải $c = -2c + 6 \Rightarrow c = 2$. Đặt $v_n = u_n – 2 \Rightarrow v_{n+1} = -2v_n$, $v_1 = 3$. Suy ra $v_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$. Vậy $u_n = 3 \cdot (-2)^{n-1} + 2$.

Bài 4: Giải $c = \frac{1}{2}c + 2 \Rightarrow c = 4$. Đặt $v_n = u_n – 4 \Rightarrow v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n$, $v_1 = -5$. Suy ra $v_n = -5 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$. Vậy $u_n = 4 – 5 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

Bài 5: Giải $c = 5c – 8 \Rightarrow c = 2$. Đặt $v_n = u_n – 2 \Rightarrow v_{n+1} = 5v_n$, $v_1 = -2$. Suy ra $v_n = -2 \cdot 5^{n-1}$. Vậy $u_n = 2 – 2 \cdot 5^{n-1}$.