Bài toán gốc
$\displaystyle \int{\left(11\sin x+\dfrac{9}{\cos^2x}\right) \text{d}x}$ bằng
A. $11\cos x-9\tan x+\text{C}$
B. $-11\sin x+9\tan x+\text{C}$
C. $-11\cos x+9\tan x+\text{C}$
D. $11\cos x+9\tan x+\text{C}$
Lời giải: Ta có
$\displaystyle \int{\left(11\sin x+\dfrac{9}{\cos^2x}\right) \text{d}x}=-11\cos x+9\tan x+\text{C}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán là tính tích phân bất định của tổng các hàm số cơ bản. Phương pháp giải dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân $\int (a f(x) + b g(x)) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx$ và áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản như: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ và $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.
Bài toán tương tự
1. Bài toán tương tự 1
Tính tích phân bất định $\displaystyle \int{\left(5x^4 – 2\cos x\right) \text{d}x}$.
A. $x^5 – 2\sin x + C$
B. $20x^3 + 2\sin x + C$
C. $x^5 + 2\sin x + C$
D. $x^5 – 2\cos x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ và $\int \cos x dx = \sin x + C$. Ta có $5\int x^4 dx – 2\int \cos x dx = 5\left(\frac{x^5}{5}\right) – 2\sin x + C = x^5 – 2\sin x + C$.
2. Bài toán tương tự 2
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3e^x + \dfrac{7}{x}$ là:
A. $3e^x + 7\ln|x| + C$
B. $3e^x + 7\ln x + C$
C. $3e^x – \dfrac{7}{x^2} + C$
D. $e^x + 7\ln|x| + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức $\int e^x dx = e^x + C$ và $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$. Ta có $3\int e^x dx + 7\int \frac{1}{x} dx = 3e^x + 7\ln|x| + C$.
3. Bài toán tương tự 3
Tính tích phân $\displaystyle \int{\left(\dfrac{1}{x^3} + 4\sin x\right) \text{d}x}$.
A. $\dfrac{1}{2x^2} + 4\cos x + C$
B. $-\dfrac{1}{2x^2} – 4\cos x + C$
C. $-\dfrac{1}{4x^4} – 4\cos x + C$
D. $-\dfrac{1}{2x^2} + 4\cos x + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$. Và $\int 4\sin x dx = -4\cos x + C$. Kết quả là $-\dfrac{1}{2x^2} – 4\cos x + C$.
4. Bài toán tương tự 4
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{10}{\sqrt{x}} – 6^x$ là:
A. $20\sqrt{x} – \dfrac{6^x}{\ln 6} + C$
B. $5\sqrt{x} – 6^x\ln 6 + C$
C. $20\sqrt{x} – 6^x\ln 6 + C$
D. $20\sqrt{x} + \dfrac{6^x}{\ln 6} + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int \dfrac{10}{\sqrt{x}} dx = 10 \int x^{-1/2} dx = 10 \cdot \dfrac{x^{1/2}}{1/2} + C = 20\sqrt{x} + C$. Và $\int 6^x dx = \dfrac{6^x}{\ln 6} + C$. Kết quả là $20\sqrt{x} – \dfrac{6^x}{\ln 6} + C$.
5. Bài toán tương tự 5
Tính $\displaystyle \int{\left(2x^3 – \dfrac{3}{\sin^2 x}
ight) \text{d}x}$.
A. $\dfrac{x^4}{2} – 3\cot x + C$
B. $\dfrac{x^4}{2} + 3\cot x + C$
C. $6x^2 – 3\cot x + C$
D. $\dfrac{x^4}{4} + 3\cot x + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$ và $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$. Ta có $2\int x^3 dx – 3\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 2\left(\frac{x^4}{4}\right) – 3(-\cot x) + C = \dfrac{x^4}{2} + 3\cot x + C$.