Bài toán gốc
Tìm nguyên hàm $\int \left({3 x – 4 – \frac{5}{x^{2}}}\right) dx$.
A. $3 x^{2} – 4 x + \frac{5}{x}+C$
B. $\frac{3 x^{2}}{2} – 4 x + \frac{5}{x}+C$
C. $\frac{3 x^{2}}{2} – 4 – \frac{5}{x}+C$
D. $3 + \frac{5}{x}+C$
Lời giải: $\int \left({3 x – 4 – \frac{5}{x^{2}}}\right) dx$=\frac{3 x^{2}}{2} – 4 x + \frac{5}{x}+C$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm nguyên hàm của hàm số chứa tổng/hiệu các hàm lũy thừa và hàm đa thức. Phương pháp giải là áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm và các công thức cơ bản: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$). Cụ thể, $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ nên $\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự kèm đáp án:\n\n\n**1. Tìm nguyên hàm $\int \left({2 x^{3} + 5 – \frac{1}{x^{3}}}\right) dx$.**\nA. $\frac{x^4}{2} + 5x – \frac{1}{2x^2} + C$\nB. $\frac{x^4}{2} + 5x + \frac{1}{2x^2} + C$\nC. $2x^4 + 5x + \frac{1}{2x^2} + C$\nD. $2x^4 + 5x – \frac{1}{2x^2} + C$\nĐáp án đúng: B.\nLời giải: $\int (2x^3 + 5 – x^{-3}) dx = 2\frac{x^4}{4} + 5x – \frac{x^{-2}}{-2} + C = \frac{x^4}{2} + 5x + \frac{1}{2x^2} + C$.\n\n**2. Tìm nguyên hàm $\int \left({6 x^{2} – 3\sqrt{x} + 1}\right) dx$.**\nA. $2x^3 – 2x\sqrt{x} + x + C$\nB. $12x – 2x^{3/2} + x + C$\nC. $2x^3 – \frac{3}{2}x^{3/2} + x + C$\nD. $3x^3 – 2x\sqrt{x} + x + C$\nĐáp án đúng: A.\nLời giải: $\int (6x^2 – 3x^{1/2} + 1) dx = 6\frac{x^3}{3} – 3\frac{x^{3/2}}{3/2} + x + C = 2x^3 – 2x^{3/2} + x + C = 2x^3 – 2x\sqrt{x} + x + C$.\n\n**3. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 4e^x + \frac{3}{x} – 2x$.**\nĐáp án: $4e^x + 3\ln|x| – x^2 + C$.\nLời giải ngắn gọn: $\int (4e^x + \frac{3}{x} – 2x) dx = 4\int e^x dx + 3\int \frac{1}{x} dx – 2\int x dx = 4e^x + 3\ln|x| – x^2 + C$.\n\n**4. Tìm nguyên hàm $\int \left({9 x^{5} – \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 1}\right) dx$.**\nA. $\frac{3x^6}{2} – 3x^{2/3} + x + C$\nB. $\frac{9x^6}{6} – 3x^{2/3} + x + C$\nC. $\frac{3x^6}{2} – \frac{3}{2}x^{2/3} + x + C$\nD. $\frac{3x^6}{2} + 3x^{2/3} + x + C$\nĐáp án đúng: A.\nLời giải: $\int (9x^5 – 2x^{-1/3} + 1) dx = 9\frac{x^6}{6} – 2\frac{x^{2/3}}{2/3} + x + C = \frac{3x^6}{2} – 3x^{2/3} + x + C$.\n\n**5. Tìm nguyên hàm $\int \left({x^{3} – 6 x^{2} + \frac{4}{x^{2}}}\right) dx$.**\nA. $3x^4 – 12x^3 – \frac{4}{x} + C$\nB. $\frac{x^4}{4} – 2x^3 – \frac{4}{x} + C$\nC. $\frac{x^4}{4} – 2x^3 + \frac{4}{x} + C$\nD. $\frac{x^4}{4} – 3x^3 – \frac{4}{x} + C$\nĐáp án đúng: B.\nLời giải: $\int (x^3 – 6x^2 + 4x^{-2}) dx = \frac{x^4}{4} – 6\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^4}{4} – 2x^3 – \frac{4}{x} + C$.