Bài toán gốc
Cho hàm $F(x)=x^{2} + 2 x + 7,x\in \mathbb{R}$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Nếu hàm số $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ và $G(-5)=1$ thì $G(x)$ bằng
A. $F(x)-20$
B. $F(x)-21$
C. $F(x)-19$
D. $F(x)-23$
Lời giải: Vì $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ nên $G(x)=F(x)+\text{C}$ với $\text{C}$ là một hằng số. Mà $G(-5)=1$ nên ta có
$G(-5)=F(-5)+\text{C} \Leftrightarrow 1=22+\text{C} \Leftrightarrow \text{C}=-21$.
Vậy $G(x)=F(x)-21$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm cụ thể $G(x)$ của hàm số $f(x)$, khi biết một nguyên hàm khác $F(x)$ và một điều kiện ban đầu của $G(x)$. Phương pháp giải dựa trên tính chất cơ bản của nguyên hàm: Nếu $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của cùng một hàm số $f(x)$ trên một khoảng, thì chúng chỉ khác nhau một hằng số $C$, tức là $G(x) = F(x) + C$. Ta sử dụng điều kiện $G(x_0) = y_0$ để xác định hằng số $C$ bằng cách thay giá trị vào phương trình $y_0 = F(x_0) + C$, từ đó suy ra biểu thức chính xác của $G(x)$.
Bài toán tương tự
1. Cho $F(x) = x^3 – 3x + 4$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Nếu hàm số $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ và $G(1) = 10$ thì $G(x)$ bằng
A. $F(x) + 6$
B. $F(x) + 8$
C. $F(x) + 10$
D. $F(x) + 12$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Ta có $G(x) = F(x) + C$. Thay $x=1$: $F(1) = 1^3 – 3(1) + 4 = 2$. Do $G(1) = 10$, ta có $10 = 2 + C$, suy ra $C = 8$. Vậy $G(x) = F(x) + 8$.
2. Cho $F(x) = 5e^{3x} + 2x – 1$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Nếu $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $G(0) = 5$ thì $G(x)$ bằng
A. $F(x) + 1$
B. $F(x) + 2$
C. $F(x) + 3$
D. $F(x) + 4$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: Ta có $G(x) = F(x) + C$. Thay $x=0$: $F(0) = 5e^{0} + 2(0) – 1 = 5 – 1 = 4$. Do $G(0) = 5$, ta có $5 = 4 + C$, suy ra $C = 1$. Vậy $G(x) = F(x) + 1$.
3. Cho $F(x) = 4x^3 – x^2 + 2x$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Nếu $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $G(-1) = 5$ thì $G(x)$ bằng
A. $F(x) + 10$
B. $F(x) + 12$
C. $F(x) – 7$
D. $F(x) + 8$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Ta có $G(x) = F(x) + C$. Thay $x=-1$: $F(-1) = 4(-1)^3 – (-1)^2 + 2(-1) = -4 – 1 – 2 = -7$. Do $G(-1) = 5$, ta có $5 = -7 + C$, suy ra $C = 12$. Vậy $G(x) = F(x) + 12$.
4. Cho $F(x) = rac{1}{x} + rac{x^2}{2}$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0; +\&infty)$. Nếu $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $G(2) = 3$ thì $G(x)$ bằng
A. $F(x) + 1$
B. $F(x) + 2$
C. $F(x) + 3/2$
D. $F(x) + 5/2$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: Ta có $G(x) = F(x) + C$. Thay $x=2$: $F(2) = \frac{1}{2} + \frac{2^2}{2} = 0.5 + 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$. Do $G(2) = 3$, ta có $3 = \frac{5}{2} + C$, suy ra $C = 3 – 2.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$. (Lỗi đánh máy trong đáp án trắc nghiệm, cần sửa lại C=1/2).
*Tính toán lại đáp án:* $F(2) = 5/2$. $G(2) = 3$. $C = 3 – 5/2 = 1/2$. Vậy $G(x) = F(x) + 1/2$. (Dựa trên các đáp án A, B, C, D, ta thấy không có đáp án 1/2. Giả sử đáp án A là $F(x) + 1/2$)
Chọn đáp án gần nhất hoặc tính toán lại nếu đây là bài toán tự luận:
$G(x) = F(x) + 0.5$. Để phù hợp với format trắc nghiệm, ta điều chỉnh điều kiện: Giả sử $G(2) = 4$. Khi đó $C = 4 – 2.5 = 1.5 = 3/2$. Đáp án đúng C.
*Bài toán 4 được sửa lại để khớp đáp án C:* Cho $F(x) = \frac{1}{x} + \frac{x^2}{2}$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Nếu $G(x)$ thỏa mãn $G(2) = 4$ thì $G(x)$ bằng
A. $F(x) + 1$
B. $F(x) + 2$
C. $F(x) + 3/2$
D. $F(x) + 5/2$
Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn: Ta có $G(x) = F(x) + C$. $F(2) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$. Do $G(2) = 4$, ta có $4 = \frac{5}{2} + C$, suy ra $C = 4 – \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$. Vậy $G(x) = F(x) + \frac{3}{2}$.
5. Cho $F(x) = 3x^2 – 4x + 10$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Nếu $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $G(2) = 0$ thì $G(x)$ bằng
A. $F(x) – 10$
B. $F(x) – 12$
C. $F(x) – 14$
D. $F(x) – 16$
Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn: Ta có $G(x) = F(x) + C$. Thay $x=2$: $F(2) = 3(2)^2 – 4(2) + 10 = 12 – 8 + 10 = 14$. Do $G(2) = 0$, ta có $0 = 14 + C$, suy ra $C = -14$. Vậy $G(x) = F(x) – 14$.