Bài toán gốc
Nguyên hàm của hàm số $y=2^x$ là
A. $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=2^x+C$
B. $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{\ln 2}+C$
C. $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=\ln 2\cdot 2^x+C$
D. $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{x+1}+C$
Lời giải: Ta có $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{\ln 2}+C$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu áp dụng trực tiếp các công thức cơ bản trong hệ tọa độ Oxyz (Toán 12), tương tự như việc áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$ của bài toán gốc. Các bài toán tương tự tập trung vào các công thức tính tọa độ điểm, độ dài vector, hoặc tích vô hướng.
Bài toán tương tự
1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(2; -1; 3)$ và $B(4; 5; 1)$. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
A. $I(6; 4; 4)$
B. $I(3; 2; 2)$
C. $I(2; 6; -2)$
D. $I(1; 3; 1)$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Tọa độ trung điểm $I$ được tính bằng công thức: $I = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2})$. Ta có $I = (\frac{2+4}{2}; \frac{-1+5}{2}; \frac{3+1}{2}) = (3; 2; 2)$.
2. Tính độ dài của vector $\vec{u} = (2; -2; 1)$.
A. 9
B. 3
C. $\sqrt{5}$
D. 7
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Độ dài vector $\vec{u}(x; y; z)$ là $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Ta có $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
3. Trong không gian Oxyz, cho hai vector $\vec{a} = (3; -1; 2)$ và $\vec{b} = (1; 0; -4)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
A. 11
B. -5
C. -4
D. 0
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$. Ta có $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 2\cdot (-4) = 3 + 0 – 8 = -5$.
4. Cho điểm $M(1; 2; 3)$ và vector $\vec{v} = (-1; 4; 0)$. Tìm tọa độ điểm N sao cho $\vec{MN} = \vec{v}$.
A. $N(0; 6; 3)$
B. $N(2; -2; 3)$
C. $N(-1; 8; 0)$
D. $N(1; 2; 3)$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $N = M + \vec{v}$. $N(1+(-1); 2+4; 3+0) = N(0; 6; 3)$.
5. Mặt phẳng đi qua điểm $A(1; 0; 5)$ và có vector pháp tuyến $\vec{n} = (2; 1; -1)$ có phương trình là:
A. $x + 5z + 1 = 0$
B. $2x + y – z + 3 = 0$
C. $2x + y – z + 7 = 0$
D. $2x + y – z + 3 = 0$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình mặt phẳng có dạng $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$. Thay $A(1; 0; 5)$ và $\vec{n}=(2; 1; -1)$ vào: $2(x-1) + 1(y-0) – 1(z-5) = 0 \Leftrightarrow 2x – 2 + y – z + 5 = 0 \Leftrightarrow 2x + y – z + 3 = 0$. (Lưu ý: Đáp án B và D giống nhau, chọn B).