Bài toán gốc Tìm nguyên hàm $\int \left({3 x – 4 – \frac{5}{x^{2}}}\right) dx$. A. $3 x^{2} – 4 x + \frac{5}{x}+C$ B. $\frac{3 x^{2}}{2} – 4 x + \frac{5}{x}+C$ C. $\frac{3 x^{2}}{2} – 4 – \frac{5}{x}+C$ D. $3 + \frac{5}{x}+C$ Lời giải: $\int \left({3 x – 4 – \frac{5}{x^{2}}}\right) dx$=\frac{3 x^{2}}{2} – 4 x […]
Trắc nghiệm nguyên hàm biến đổi về dạng cơ bản
$\displaystyle \int{\left(5^x+4^x\right)^2 \text{d}x}$ bằng
Bài toán gốc $\displaystyle \int{\left(5^x+4^x\right)^2 \text{d}x}$ bằng A. $\dfrac{5^x}{\ln 5}+2\cdot\dfrac{20^x}{\ln 20}+\dfrac{4^x}{\ln 4}+\text{C}$ B. $\dfrac{5^x}{\ln 5}+2\cdot\dfrac{20^x}{\ln 20}+\dfrac{16^x}{\ln 16}+\text{C}$ C. $\dfrac{25^x}{\ln 25}+2\cdot\dfrac{20^x}{\ln 20}+\dfrac{16^x}{\ln 16}+\text{C}$ D. $\dfrac{25^x}{\ln 25}+2\cdot\dfrac{4^x}{\ln 4}+\dfrac{16^x}{\ln 16}+\text{C}$ Lời giải: Ta có$\begin{array}{l} \displaystyle \int{\left(5^x+4^x\right)^2 \text{d}x} = \displaystyle \int{ \left[\left(5^x\right)^2+2\cdot5^x\cdot4^x+\left(4^x\right)^2\right] \text{d}x} \\ = \displaystyle \int{ \left(25^x+2\cdot20^x+16^x\right) \text{d}x}\\ = \dfrac{25^x}{\ln 25}+2\cdot\dfrac{20^x}{\ln 20}+\dfrac{16^x}{\ln 16}+\text{C}.\end{array}$ Phân tích và Phương pháp […]
$\displaystyle \int{\left(11\sin x+\dfrac{9}{\cos^2x}\right) \text{d}x}$ bằng
Bài toán gốc $\displaystyle \int{\left(11\sin x+\dfrac{9}{\cos^2x}\right) \text{d}x}$ bằng A. $11\cos x-9\tan x+\text{C}$ B. $-11\sin x+9\tan x+\text{C}$ C. $-11\cos x+9\tan x+\text{C}$ D. $11\cos x+9\tan x+\text{C}$ Lời giải: Ta có$\displaystyle \int{\left(11\sin x+\dfrac{9}{\cos^2x}\right) \text{d}x}=-11\cos x+9\tan x+\text{C}$. Phân tích và Phương pháp giải Dạng bài toán là tính tích phân bất định của tổng các hàm số cơ bản. […]
Cho hàm $F(x)=x^{2} + 2 x + 7,x\in \mathbb{R}$ là một nguyên hàm của $f(x)$
Bài toán gốc Cho hàm $F(x)=x^{2} + 2 x + 7,x\in \mathbb{R}$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Nếu hàm số $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ và $G(-5)=1$ thì $G(x)$ bằng A. $F(x)-20$ B. $F(x)-21$ C. $F(x)-19$ D. $F(x)-23$ Lời giải: Vì $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ nên […]
Nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{2x+1}\mathrm{d}x$ bằng
Bài toán gốc Nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{2x+1}\mathrm{d}x$ bằng A. $\ln |2x+1|+C$ B. $\dfrac{1}{2}\ln |2x+1|+C$ C. $-\ln |2x+1|+C$ D. $-\dfrac{1}{2}\ln |2x+1|+C$ Lời giải: Áp dụng công thức $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+1}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\ln |ax+b|+C$ ta được $I=\displaystyle\int \dfrac{1}{2x+1}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\ln |2x+1|+C$. Phân tích và Phương pháp giải Đây là dạng toán tìm nguyên hàm cơ bản của hàm số hữu tỉ $f(x) […]
Khẳng định nào sau đây sai? ==== $\displaystyle\int\ln x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{x}+C$
Bài toán gốc Khẳng định nào sau đây sai? A. $\displaystyle\int\ln x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{x}+C$ B. $\displaystyle\int\sin x\mathrm{ d}x=-\cos x+C$ C. $\displaystyle\int\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C$ D. $\displaystyle\int\cos x\mathrm{ d}x=\sin x+C$ Lời giải: Từ bảng các nguyên hàm cơ bản ta thấy $\displaystyle\int\ln x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{x}+C$ sai. Phân tích và Phương pháp giải Dạng bài toán yêu cầu nhận dạng công thức nguyên hàm […]
Nguyên hàm của hàm số $y=2^x$ là
Bài toán gốc Nguyên hàm của hàm số $y=2^x$ là A. $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=2^x+C$ B. $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{\ln 2}+C$ C. $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=\ln 2\cdot 2^x+C$ D. $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{x+1}+C$ Lời giải: Ta có $\displaystyle\int 2^x\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{\ln 2}+C$. Phân tích và Phương pháp giải Dạng bài toán yêu cầu áp dụng trực tiếp các công thức cơ bản trong hệ tọa […]
Tính nguyên hàm $F(x)=\displaystyle\int\left(\sin{\dfrac{x}{2}}+\cos{\dfrac{x}{2}}\right)^2 \mathrm{{d}}x$
Bài toán gốc Tính nguyên hàm $F(x)=\displaystyle\int\left(\sin{\dfrac{x}{2}}+\cos{\dfrac{x}{2}}\right)^2 \mathrm{{d}}x$. A. $\dfrac{1}{3}\left( \cos{\dfrac{x}{2}} \right)^3+C$ B. $x-\cos{x}+C$ C. $x+\cos{x}+C$ D. $\left( \sin{\dfrac{x}{2}} \right)^2+C$ Lời giải: Để tính nguyên hàm $F(x) = \displaystyle\int \left( \sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2} \right)^2 \mathrm{{d}}x$, chúng ta tiến hành các bước như sau:Trước hết, khai triển biểu thức bên trong dấu nguyên hàm:$\left( […]
Tính $\displaystyle\int (4x + 2)^2\mathrm{d}x$ ta được kết quả
Bài toán gốc Tính $\displaystyle\int (4x + 2)^2\mathrm{d}x$ ta được kết quả A. $\dfrac{16 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 7 x + C$ B. $\dfrac{16 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 4 x + C$ C. $\dfrac{25 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 4 x + C$ D. ${\dfrac{16 x^{3}}{3} + 8 x^{2} + 4 x + […]
Tính nguyên hàm của hàm số $y=- 4 x^{3} + 2 x^{2} + x – 4$.
Bài toán gốc Tính nguyên hàm của hàm số $y=- 4 x^{3} + 2 x^{2} + x – 4$. A. $- x^{4} + \dfrac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} – 4 x – 1 + C$ B. $- x^{4} + \dfrac{2 x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} – 4 x + C$ C. $- x^{4} + \dfrac{2 x^{3}}{3} + […]