Tính nguyên hàm $F(x)=\displaystyle\int\left(\sin{\dfrac{x}{2}}+\cos{\dfrac{x}{2}}\right)^2 \mathrm{{d}}x$

Bài toán gốc

Tính nguyên hàm $F(x)=\displaystyle\int\left(\sin{\dfrac{x}{2}}+\cos{\dfrac{x}{2}}\right)^2 \mathrm{{d}}x$.

A. $\dfrac{1}{3}\left( \cos{\dfrac{x}{2}} \right)^3+C$

B. $x-\cos{x}+C$

C. $x+\cos{x}+C$

D. $\left( \sin{\dfrac{x}{2}} \right)^2+C$

Lời giải: Để tính nguyên hàm $F(x) = \displaystyle\int \left( \sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2} \right)^2 \mathrm{{d}}x$, chúng ta tiến hành các bước như sau:
Trước hết, khai triển biểu thức bên trong dấu nguyên hàm:
$\left( \sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2} \right)^2 = \sin^2 \dfrac{x}{2} + 2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2} + \cos^2 \dfrac{x}{2}$
Chúng ta sử dụng các đồng nhất thức lượng giác: $\sin^2 \dfrac{x}{2} + \cos^2 \dfrac{x}{2} = 1$ và $2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2} = \sin x$
Khi đó, ta có:
$\left( \sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2} \right)^2 = 1 + \sin x$
Do đó, bài toán trở thành:
$F(x) = \displaystyle\int (1 + \sin x) \mathrm{{d}}x$
Ta tách nguyên hàm thành hai phần:
$F(x) = \displaystyle\int 1 dx + \displaystyle\int \sin x \mathrm{{d}}x = x – \cos x + C$
Vậy, nguyên hàm cần tìm là:
$F(x) = x – \cos x + C$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu tính nguyên hàm của hàm lượng giác. Phương pháp giải chính là sử dụng các đồng nhất thức lượng giác cơ bản (như $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ và $2 \sin A \cos A = \sin 2A$) để đơn giản hóa biểu thức dưới dấu nguyên hàm thành dạng tổng các hàm cơ bản (như đa thức hoặc $\sin(ax)$, $\cos(ax)$), sau đó áp dụng quy tắc nguyên hàm cơ bản $\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$ và $\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$.

Bài toán tương tự

Câu 1: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \left(\sin x – \cos x\right)^2$.
A. $x – \sin(2x) + C$
B. $x + \frac{1}{2}\cos(2x) + C$
C. $x + \frac{1}{2}\sin(2x) + C$
D. $x – \frac{1}{2}\sin(2x) + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Khai triển $f(x) = \sin^2 x – 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 – \sin 2x$. Nguyên hàm $F(x) = \int (1 – \sin 2x) dx = x – (-\frac{1}{2}\cos 2x) + C = x + \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 2: Tính nguyên hàm $F(x) = \int \cos^2(3x) dx$.
A. $\frac{1}{2}x + \frac{1}{6}\sin(6x) + C$
B. $\frac{1}{2}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + C$
C. $\frac{1}{2}x – \frac{1}{12}\sin(6x) + C$
D. $x + \frac{1}{6}\sin(6x) + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng công thức hạ bậc $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$. Ta có $f(x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}$. Nguyên hàm $F(x) = \int (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(6x)) dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin(6x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + C$.

Câu 3: Tính nguyên hàm $F(x) = \int 8 \sin(4x) \cos(4x) dx$.
A. $-\frac{1}{2}\cos(8x) + C$
B. $-\frac{1}{2}\sin(8x) + C$
C. $-\cos(8x) + C$
D. $\cos(8x) + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng công thức nhân đôi $2 \sin A \cos A = \sin 2A$. Ta có $f(x) = 4 \cdot (2 \sin 4x \cos 4x) = 4 \sin(8x)$. Nguyên hàm $F(x) = \int 4 \sin(8x) dx = 4 \cdot (-\frac{1}{8} \cos(8x)) + C = -\frac{1}{2}\cos(8x) + C$.

Câu 4: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \tan^2(2x)$.
A. $\frac{1}{2}\tan(2x) – x + C$
B. $\tan(2x) – x + C$
C. $2\tan(2x) – x + C$
D. $\frac{1}{2}\cot(2x) – x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng đồng nhất thức $\tan^2 A = \sec^2 A – 1$. Ta có $f(x) = \sec^2(2x) – 1$. Nguyên hàm $F(x) = \int (\sec^2(2x) – 1) dx = \frac{1}{2} \tan(2x) – x + C$.

Câu 5: Tính nguyên hàm $F(x) = \int \dfrac{\cos^2 x}{1 + \sin x} dx$.
A. $\cos x + x + C$
B. $\sin x + x + C$
C. $-\sin x + x + C$
D. $\sin x – x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\cos^2 x = 1 – \sin^2 x = (1 – \sin x)(1 + \sin x)$. Ta có $f(x) = \dfrac{(1 – \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x} = 1 – \sin x$. Nguyên hàm $F(x) = \int (1 – \sin x) dx = x – (-\cos x) + C = x + \cos x + C$.