Bài toán gốc
Khẳng định nào sau đây sai?
A. $\displaystyle\int\ln x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{x}+C$
B. $\displaystyle\int\sin x\mathrm{ d}x=-\cos x+C$
C. $\displaystyle\int\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C$
D. $\displaystyle\int\cos x\mathrm{ d}x=\sin x+C$
Lời giải: Từ bảng các nguyên hàm cơ bản ta thấy $\displaystyle\int\ln x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{x}+C$ sai.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu nhận dạng công thức nguyên hàm cơ bản SAI trong các lựa chọn. Phương pháp giải là đối chiếu các khẳng định với bảng công thức nguyên hàm cơ bản hoặc sử dụng định nghĩa nguyên hàm: $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nếu $F'(x) = f(x)$.
Bài toán tương tự
Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $\displaystyle\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$ ($a>0, a\ne 1$)
B. $\displaystyle\int k\mathrm{d}x=kx+C$
C. $\displaystyle\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\ne -1$)
D. $\displaystyle\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{x^2}+C$
Đáp án đúng: D
Lời giải ngắn gọn: Khẳng định D sai. Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln |x| + C$. Nếu lấy đạo hàm $(\frac{-1}{x^2})’$ sẽ bằng $\frac{2}{x^3}$, không bằng $\frac{1}{x}$.
Câu 2. Công thức đạo hàm nào sau đây đúng?
A. $(\tan x)’ = -\frac{1}{\cos^2 x}$
B. $(\cot x)’ = \frac{1}{\sin^2 x}$
C. $(\mathrm{e}^{2x})’ = 2\mathrm{e}^{2x}$
D. $(\log_a x)’ = x\ln a$
Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn: Khẳng định C đúng vì $(\mathrm{e}^{u})’ = u’\mathrm{e}^{u}$. Với $u=2x$, ta có $(\mathrm{e}^{2x})’ = (2x)’\mathrm{e}^{2x} = 2\mathrm{e}^{2x}$. Các khẳng định A, B, D đều sai về dấu hoặc công thức.
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là công thức nguyên hàm đúng?
A. $\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 x}\mathrm{d}x = -\cot x + C$
B. $\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2 x}\mathrm{d}x = \tan x + C$
C. $\displaystyle\int \sin 2x\mathrm{d}x = 2\cos 2x + C$
D. $\displaystyle\int \mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x = -\mathrm{e}^{-x} + C$
Đáp án đúng: D
Lời giải ngắn gọn: Khẳng định D đúng. Ta kiểm tra bằng đạo hàm: $(-\mathrm{e}^{-x} + C)’ = -\mathrm{e}^{-x} \cdot (-x)’ = -\mathrm{e}^{-x} \cdot (-1) = \mathrm{e}^{-x}$.
Câu 4. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên tập xác định $K$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Mọi nguyên hàm của $f(x)$ có dạng $F(x) + C$ ($C$ là hằng số).
B. $F(x) = f'(x)$.
C. $F'(x) = f(x)$.
D. $\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x = F(x) + C$.
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Theo định nghĩa, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ khi $F'(x) = f(x)$ (khẳng định C đúng). Khẳng định B, $F(x) = f'(x)$, là sai vì $F(x)$ là nguyên hàm chứ không phải đạo hàm của $f(x)$.
Câu 5. Kết quả của $\displaystyle\int \frac{1}{2x+1}\mathrm{d}x$ là:
A. $\ln |2x+1| + C$
B. $\frac{1}{2}\ln |2x+1| + C$
C. $2\ln |2x+1| + C$
D. $-\frac{2}{(2x+1)^2} + C$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng $\displaystyle\int \frac{1}{ax+b}\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C$. Với $a=2, b=1$, ta được $\frac{1}{2}\ln |2x+1| + C$.