Bài toán gốc
Nguyên hàm của hàm số $y=-\sin x+10$.
A. $-\cos x+10x+C$
B. $\cos x+10x+C$
C. $-\cos x+10+C$
D. $\sin x+10+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Bài toán yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số chứa các thành phần cơ bản (hàm lượng giác và hàm hằng). Phương pháp giải là áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm: $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$, kết hợp với các công thức nguyên hàm cơ bản: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ và $\int a dx = ax + C$. Đối với bài toán gốc: $\int (-\sin x + 10) dx = -(-\cos x) + 10x + C = \cos x + 10x + C$. (Đáp án B).
Bài toán tương tự
1. Bài toán tương tự 1 (Trắc nghiệm): Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4\cos x – 7$.
A. $4\sin x – 7x + C$
B. $-4\sin x – 7x + C$
C. $4\sin x – 7 + C$
D. $4\sin x + 7x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $\int (4\cos x – 7) dx = 4\int \cos x dx – \int 7 dx = 4\sin x – 7x + C$.
2. Bài toán tương tự 2 (Trắc nghiệm): Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6x^2 + 2x – 3$.
A. $12x + 2 + C$
B. $2x^3 + x^2 – 3x + C$
C. $3x^3 + x^2 – 3x + C$
D. $6x^3 + 2x^2 – 3x + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $\int (6x^2 + 2x – 3) dx = 6\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} – 3x + C = 2x^3 + x^2 – 3x + C$.
3. Bài toán tương tự 3 (Trắc nghiệm): Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x + 5x^4$.
A. $e^x + 20x^3 + C$
B. $e^x + x^5/5 + C$
C. $e^x + x^5 + C$
D. $x e^{x-1} + 5x^5 + C$
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: $\int (e^x + 5x^4) dx = e^x + 5\frac{x^5}{5} + C = e^x + x^5 + C$.
4. Bài toán tương tự 4 (Trắc nghiệm): Nguyên hàm của hàm số $f(x) = -\frac{1}{x^2} + \sin x$ là:
A. $\frac{1}{x} + \cos x + C$
B. $\frac{1}{x} – \cos x + C$
C. $-\frac{1}{x} – \cos x + C$
D. $\frac{1}{x} + \sin x + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $\int (-\frac{1}{x^2} + \sin x) dx = \frac{1}{x} – \cos x + C$. (Vì $\int -\frac{1}{x^2} dx = -\int x^{-2} dx = -\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{x} + C$).
5. Bài toán tương tự 5 (Trắc nghiệm): Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} – 2\cos x$.
A. $\sqrt{x} – 2\sin x + C$
B. $\frac{1}{\sqrt{x}} – 2\sin x + C$
C. $\sqrt{x} + 2\sin x + C$
D. $x\sqrt{x} – 2\sin x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \sqrt{x} + C$ và $\int (-2\cos x) dx = -2\sin x + C$. Vậy $F(x) = \sqrt{x} – 2\sin x + C$.