Bài toán gốc
Tìm $\int{7\sin^2 3x\text{d}x}$
A. $-\dfrac{7}{12}\sin 6x+\dfrac{7}{2}x+C$
B. $\dfrac{7}{12}\cos 3x+\dfrac{7}{6}x+C$
C. $\dfrac{7}{6}\cos 6x+\dfrac{7}{6}x+C$
D. $-\dfrac{7}{6}\sin 6x+\dfrac{7}{2}x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán là tính nguyên hàm của hàm lượng giác chứa lũy thừa bậc hai, cụ thể là $\int k \sin^2(ax) dx$ hoặc $\int k \cos^2(ax) dx$. Phương pháp giải bắt buộc là sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^2 u = \frac{1 – \cos 2u}{2}$ hoặc $\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$. Sau khi hạ bậc, nguyên hàm trở thành tổng (hiệu) của nguyên hàm cơ bản $x$ và nguyên hàm của hàm cos: $\int \cos(mx) dx = \frac{1}{m}\sin(mx) + C$.
Bài toán tương tự
1. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 4\sin^2 (2x)$. Đáp án: $F(x) = 2x – \dfrac{1}{2}\sin 4x + C$. Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\sin^2(2x) = \dfrac{1 – \cos 4x}{2}$. Khi đó $F(x) = \int 4 \cdot \dfrac{1 – \cos 4x}{2} dx = 2 \int (1 – \cos 4x) dx = 2(x – \dfrac{\sin 4x}{4}) + C = 2x – \dfrac{1}{2}\sin 4x + C$.2. Tính tích phân $\int 6\cos^2 (3x) dx$. Đáp án: $3x + \dfrac{1}{2}\sin 6x + C$. Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\cos^2(3x) = \dfrac{1 + \cos 6x}{2}$. Ta có $\int 6 \cdot \dfrac{1 + \cos 6x}{2} dx = 3 \int (1 + \cos 6x) dx = 3(x + \dfrac{\sin 6x}{6}) + C = 3x + \dfrac{1}{2}\sin 6x + C$.3. Tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = 9\sin^2 (\dfrac{x}{2})$. Đáp án: $\dfrac{9}{2} x – \dfrac{9}{2}\sin x + C$. Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\sin^2(\dfrac{x}{2}) = \dfrac{1 – \cos x}{2}$. Ta có $\int 9 \cdot \dfrac{1 – \cos x}{2} dx = \dfrac{9}{2} \int (1 – \cos x) dx = \dfrac{9}{2} (x – \sin x) + C$.4. Tính $\int \dfrac{1}{2}\cos^2 (4x) dx$. Đáp án: $\dfrac{1}{4} x + \dfrac{1}{32}\sin 8x + C$. Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\cos^2(4x) = \dfrac{1 + \cos 8x}{2}$. Ta có $\int \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 + \cos 8x}{2} dx = \dfrac{1}{4} \int (1 + \cos 8x) dx = \dfrac{1}{4} (x + \dfrac{\sin 8x}{8}) + C$.5. Tính nguyên hàm $I = \int 10\sin^2 (5x) dx$. A. $10x – \sin 10x + C$ B. $5x + \dfrac{1}{2}\sin 10x + C$ C. $5x – \dfrac{1}{2}\sin 10x + C$ D. $x – \dfrac{1}{2}\sin 10x + C$ Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức hạ bậc: $I = \int 10 \cdot \dfrac{1 – \cos 10x}{2} dx = 5 \int (1 – \cos 10x) dx = 5(x – \dfrac{\sin 10x}{10}) + C = 5x – \dfrac{1}{2}\sin 10x + C$.