Bài toán gốc
Tìm $\int{-3\cos^2 2x\text{d}x}$
A. $-\dfrac{3}{8}\sin 4x-\dfrac{3}{2}x+C$
B. $\dfrac{3}{8}\cos 2x-\dfrac{3}{4}x+C$
C. $-\dfrac{3}{4}\sin 4x-\dfrac{3}{2}x+C$
D. $\dfrac{3}{4}\cos 4x-\dfrac{3}{4}x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bậc hai, cụ thể là $\cos^2(ax)$. Phương pháp giải bắt buộc là sử dụng công thức hạ bậc: $\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$. Sau khi hạ bậc, biểu thức trở thành tổng (hoặc hiệu) của hằng số và hàm $\cos(2u)$, cho phép áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C$.
Bài toán tương tự
1.
**Bài toán 1 (Tự luận):** Tìm nguyên hàm của $f(x) = 4\sin^2 3x$.
**Đáp án:** $2x – \frac{1}{3}\sin 6x + C$.
**Lời giải ngắn gọn:** Ta có $4\sin^2 3x = 4 \cdot \frac{1 – \cos 6x}{2} = 2 – 2\cos 6x$. Nguyên hàm là $\int (2 – 2\cos 6x) dx = 2x – 2 \cdot \frac{\sin 6x}{6} + C = 2x – \frac{1}{3}\sin 6x + C$.
2.
**Bài toán 2 (Tự luận):** Tính tích phân $I = \int{\cos^2 \left(\frac{x}{2}\right) dx}$.
**Đáp án:** $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C$.
**Lời giải ngắn gọn:** Áp dụng công thức hạ bậc: $\cos^2 \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos (2 \cdot x/2)}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$. $I = \int \frac{1}{2}(1 + \cos x) dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C$.
3.
**Bài toán 3 (Trắc nghiệm):** Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = -6\sin^2 4x$.
A. $-3x + \frac{3}{8}\sin 8x + C$
B. $3x – \frac{3}{4}\sin 8x + C$
C. $-3x – \frac{3}{8}\cos 8x + C$
D. $3x + \frac{3}{4}\sin 8x + C$
**Đáp án đúng:** A.
**Lời giải ngắn gọn:** Ta có $-6\sin^2 4x = -6 \cdot \frac{1 – \cos 8x}{2} = -3(1 – \cos 8x) = -3 + 3\cos 8x$. Nguyên hàm là $\int (-3 + 3\cos 8x) dx = -3x + 3 \cdot \frac{\sin 8x}{8} + C = -3x + \frac{3}{8}\sin 8x + C$.
4.
**Bài toán 4 (Tự luận):** Tính $J = \int{2\cos^2 (3x-1) dx}$.
**Đáp án:** $x + \frac{1}{6}\sin(6x-2) + C$.
**Lời giải ngắn gọn:** $2\cos^2 (3x-1) = 2 \cdot \frac{1 + \cos(2(3x-1))}{2} = 1 + \cos(6x-2)$. $J = \int (1 + \cos(6x-2)) dx = x + \frac{\sin(6x-2)}{6} + C$.
5.
**Bài toán 5 (Trắc nghiệm):** Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 10\cos^2 5x$ là:
A. $5x + 5\sin 10x + C$
B. $5x + \frac{1}{2}\sin 10x + C$
C. $10x – \sin 10x + C$
D. $5x + \sin 5x + C$
**Đáp án đúng:** B.
**Lời giải ngắn gọn:** $10\cos^2 5x = 10 \cdot \frac{1 + \cos 10x}{2} = 5 + 5\cos 10x$. Nguyên hàm là $\int (5 + 5\cos 10x) dx = 5x + 5 \cdot \frac{\sin 10x}{10} + C = 5x + \frac{1}{2}\sin 10x + C$.