Bài toán gốc
$\displaystyle \int{\left(5^x+4^x\right)^2 \text{d}x}$ bằng
A. $\dfrac{5^x}{\ln 5}+2\cdot\dfrac{20^x}{\ln 20}+\dfrac{4^x}{\ln 4}+\text{C}$
B. $\dfrac{5^x}{\ln 5}+2\cdot\dfrac{20^x}{\ln 20}+\dfrac{16^x}{\ln 16}+\text{C}$
C. $\dfrac{25^x}{\ln 25}+2\cdot\dfrac{20^x}{\ln 20}+\dfrac{16^x}{\ln 16}+\text{C}$
D. $\dfrac{25^x}{\ln 25}+2\cdot\dfrac{4^x}{\ln 4}+\dfrac{16^x}{\ln 16}+\text{C}$
Lời giải: Ta có
$\begin{array}{l} \displaystyle \int{\left(5^x+4^x\right)^2 \text{d}x} = \displaystyle \int{ \left[\left(5^x\right)^2+2\cdot5^x\cdot4^x+\left(4^x\right)^2\right] \text{d}x} \\ = \displaystyle \int{ \left(25^x+2\cdot20^x+16^x\right) \text{d}x}\\ = \dfrac{25^x}{\ln 25}+2\cdot\dfrac{20^x}{\ln 20}+\dfrac{16^x}{\ln 16}+\text{C}.\end{array}$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số mũ được viết dưới dạng bình phương của một tổng: $\int (a^x + b^x)^2 dx$. Phương pháp giải là khai triển hằng đẳng thức $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, sau đó sử dụng các tính chất của lũy thừa $(a^x)^2 = (a^2)^x$ và $a^x b^x = (ab)^x$ để đưa về tổng các hàm số mũ cơ bản. Cuối cùng, áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int k \cdot c^x dx = k \cdot \dfrac{c^x}{\ln c} + C$.
Bài toán tương tự
**Câu 1:** Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = (2^x + 3^x)^2$.
A. $F(x) = \dfrac{4^x}{\ln 4} + 2\dfrac{6^x}{\ln 6} + \dfrac{9^x}{\ln 9} + C$
B. $F(x) = \dfrac{2^x}{\ln 2} + 2\dfrac{6^x}{\ln 6} + \dfrac{3^x}{\ln 3} + C$
C. $F(x) = \dfrac{4^x}{\ln 4} + 2\dfrac{5^x}{\ln 5} + \dfrac{9^x}{\ln 9} + C$
D. $F(x) = \dfrac{4^x}{4} + 2\dfrac{6^x}{6} + \dfrac{9^x}{9} + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $(2^x + 3^x)^2 = 4^x + 2\cdot 6^x + 9^x$. Nguyên hàm là $\int (4^x + 2\cdot 6^x + 9^x) dx = \dfrac{4^x}{\ln 4} + 2\dfrac{6^x}{\ln 6} + \dfrac{9^x}{\ln 9} + C$.
**Câu 2:** Tìm nguyên hàm $\displaystyle \int (3^x – 5^x)^2 dx$.
A. $\dfrac{9^x}{\ln 9} – 2\dfrac{15^x}{\ln 15} + \dfrac{25^x}{\ln 25} + C$
B. $\dfrac{3^x}{\ln 3} – 2\dfrac{15^x}{\ln 15} + \dfrac{5^x}{\ln 5} + C$
C. $\dfrac{9^x}{\ln 9} + 2\dfrac{15^x}{\ln 15} + \dfrac{25^x}{\ln 25} + C$
D. $\dfrac{3^x}{\ln 3} – 2\dfrac{8^x}{\ln 8} + \dfrac{5^x}{\ln 5} + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Khai triển $(3^x – 5^x)^2 = 9^x – 2\cdot 15^x + 25^x$. Nguyên hàm là $\dfrac{9^x}{\ln 9} – 2\dfrac{15^x}{\ln 15} + \dfrac{25^x}{\ln 25} + C$.
**Câu 3:** Tính $\displaystyle I = \int (e^x + 4^x)^2 dx$.
A. $I = \dfrac{e^{2x}}{2} + 2\dfrac{(4e)^x}{\ln(4e)} + \dfrac{16^x}{\ln 16} + C$
B. $I = e^{2x} + 2\dfrac{4^x}{\ln 4} + \dfrac{16^x}{\ln 16} + C$
C. $I = \dfrac{e^{2x}}{2} + 2\dfrac{e^x}{\ln e} + \dfrac{4^x}{\ln 4} + C$
D. $I = e^{2x} + 2\dfrac{(4e)^x}{\ln(4e)} + \dfrac{16^x}{\ln 16} + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Khai triển $(e^x + 4^x)^2 = (e^x)^2 + 2e^x 4^x + (4^x)^2 = e^{2x} + 2(4e)^x + 16^x$. Nguyên hàm là $\int (e^{2x} + 2(4e)^x + 16^x) dx = \dfrac{e^{2x}}{2} + 2\dfrac{(4e)^x}{\ln(4e)} + \dfrac{16^x}{\ln 16} + C$. (Lưu ý: $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax}$)
**Câu 4:** Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (10^x + 3)^2$.
A. $\dfrac{100^x}{\ln 100} + 6\dfrac{10^x}{\ln 10} + 9x + C$
B. $\dfrac{100^x}{\ln 100} + 3\dfrac{10^x}{\ln 10} + 9x + C$
C. $\dfrac{10^x}{\ln 10} + 6\dfrac{30^x}{\ln 30} + 9x + C$
D. $\dfrac{100^x}{\ln 100} + 9x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Khai triển $(10^x + 3)^2 = (10^x)^2 + 2\cdot 10^x \cdot 3 + 3^2 = 100^x + 6\cdot 10^x + 9$. Nguyên hàm là $\int (100^x + 6\cdot 10^x + 9) dx = \dfrac{100^x}{\ln 100} + 6\dfrac{10^x}{\ln 10} + 9x + C$.
**Câu 5:** Tính nguyên hàm $I = \displaystyle \int (7^x + 2^x)^2 dx$. (Tự luận)
Đáp án: $I = \dfrac{49^x}{\ln 49} + 2\dfrac{14^x}{\ln 14} + \dfrac{4^x}{\ln 4} + C$.
Lời giải ngắn gọn: Khai triển hằng đẳng thức: $(7^x + 2^x)^2 = (7^x)^2 + 2\cdot 7^x\cdot 2^x + (2^x)^2 = 49^x + 2\cdot 14^x + 4^x$. Áp dụng công thức nguyên hàm: $I = \int (49^x + 2\cdot 14^x + 4^x) dx = \dfrac{49^x}{\ln 49} + 2\dfrac{14^x}{\ln 14} + \dfrac{4^x}{\ln 4} + C$.