Cho hàm số $f(x) = (\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2})^{2}$

1. Phân tích câu hỏi mẫu

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2})^{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\int f(x)dx=x-\cos x+C$.
B. $\int f(x)dx=-x-\cos x+C$.
\*C. $\int f(x)dx=x+\cos x+C$.
D. $\int f(x)dx=x-\sin x+C$.
Lời giải: $f(x)=\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=1-\sin x$.
$\int f(x)dx=\int(1-\sin x)dx=x+\cos x+C$. Chọn C.
Đáp án: C

• Dạng bài: Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác thông qua biến đổi lượng giác cơ bản.
• Kiến thức liên quan: Công thức hạ bậc, hằng đẳng thức $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$, công thức nhân đôi $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, nguyên hàm của $1$ và $\sin x$.
• Mức độ: Thông hiểu.
• Phương pháp giải: Biến đổi hàm số về dạng $1-\sin x$ (dùng hằng đẳng thức $(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2})^{2}=1-\sin x$). Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int dx=x+C$, $\int\sin xdx=-\cos x+C$.

2. Danh sách 5 câu hỏi tương tự

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=(\sin x+\cos x)^{2}$. Tìm họ nguyên hàm của $f(x)$.
\*A. $\int f(x)dx=x-\frac{1}{2}\cos2x+C$.
B. $\int f(x)dx=x+\frac{1}{2}\cos2x+C$.
C. $\int f(x)dx=-x-\frac{1}{2}\cos2x+C$.
D. $\int f(x)dx=-x+\frac{1}{2}\cos2x+C$.
Lời giải: $f(x)=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x=1+\sin2x$. $\int f(x)dx=\int(1+\sin2x)dx=x-\frac12\cos2x+C$. Chọn A.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=(\sin x-\cos x)^{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\int f(x)dx=x-\frac12\cos2x+C$.
\*B. $\int f(x)dx=x+\frac12\cos2x+C$.
C. $\int f(x)dx=-x+\frac12\cos2x+C$.
D. $\int f(x)dx=-x-\frac12\cos2x+C$.
Lời giải: $f(x)=1-\sin2x$. $\int f(x)dx=\int(1-\sin2x)dx=x+\frac12\cos2x+C$. Chọn B.

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=(\sin2x+\cos2x)^{2}$. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$.
\*A. $F(x)=x-\frac14\cos4x+C$.
B. $F(x)=x+\frac14\cos4x+C$.
C. $F(x)=-\frac14\cos4x+C$.
D. $F(x)=\frac14\cos4x+C$.
Lời giải: $f(x)=1+\sin4x$. $\int f(x)dx=\int(1+\sin4x)dx=x-\frac14\cos4x+C$. Chọn A.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)=(\sin2x-\cos2x)^{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\int f(x)dx=x-\frac14\cos4x+C$.
\*B. $\int f(x)dx=x+\frac14\cos4x+C$.
C. $\int f(x)dx=\frac14\cos4x+C$.
D. $\int f(x)dx=-\frac14\cos4x+C$.
Lời giải: $f(x)=1-\sin4x$. $\int f(x)dx=\int(1-\sin4x)dx=x+\frac14\cos4x+C$. Chọn B.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)=(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2})^{2}$. Tìm họ nguyên hàm của $f(x)$.
\*A. $\int f(x)dx=x-\cos x+C$.
B. $\int f(x)dx=x+\cos x+C$.
C. $\int f(x)dx=-x-\cos x+C$.
D. $\int f(x)dx=-x+\cos x+C$.
Lời giải: $f(x)=1+\sin x$. $\int f(x)dx=\int(1+\sin x)dx=x-\cos x+C$. Chọn A.

Câu 6. Cho hàm số $f(x)=(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2})^{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\int f(x)dx=x-\cos x+C$.
B. $\int f(x)dx=-x-\cos x+C$.
\*C. $\int f(x)dx=x+\cos x+C$.
D. $\int f(x)dx=x-\sin x+C$.
Lời giải: $f(x)=1-\sin x$. $\int f(x)dx=\int(1-\sin x)dx=x+\cos x+C$. Chọn C.

Câu 7. Cho hàm số $f(x)=\sin^{2}x$. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$.
\*A. $F(x)=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$.
B. $F(x)=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$.
C. $F(x)=-\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$.
D. $F(x)=-\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$.
Lời giải: $\sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2}$. $\int \frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$. Chọn A.

Câu 8. Cho hàm số $f(x)=\cos^{2}x$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\int f(x)dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$.
\*B. $\int f(x)dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$.
C. $\int f(x)dx=-\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$.
D. $\int f(x)dx=-\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$.
Lời giải: $\cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}$. $\int \frac{1+\cos2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$. Chọn B.

Câu 9. Cho hàm số $f(x)=(\sin x+\cos x)^{2}-(\sin x-\cos x)^{2}$. Tìm họ nguyên hàm của $f(x)$.
A. $\int f(x)dx=\cos2x+C$.
\*B. $\int f(x)dx=-\cos2x+C$.
C. $\int f(x)dx= \frac12\cos2x+C$.
D. $\int f(x)dx=-\frac12\cos2x+C$.
Lời giải: $f(x)=4\sin x\cos x=2\sin2x$. $\int2\sin2xdx=-\cos2x+C$. Chọn B.

Câu 10. Cho hàm số $f(x)=(\sin x+\cos x)^{2}+(\sin x-\cos x)^{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
\*A. $\int f(x)dx=2x+C$.
B. $\int f(x)dx=-2x+C$.
C. $\int f(x)dx= x+C$.
D. $\int f(x)dx= \frac12 x+C$.
Lời giải: $f(x)=2$. $\int2dx=2x+C$. Chọn A.