Theo định luật làm mát của Newton thì tốc độ làm mát của một vật tỉ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa vật đó và môi trường xung quanh, với điều kiện là chênh lệch này không quá lớn. Giả sử ${T(t)}$ là nhiệt độ của vật thể (đơn vị: độ C) tại thời điểm ${t}$ (đơn vị: phút) và ${T_s}$ là nhiệt độ của môi trường xung quanh, chênh lệch giữa nhiệt độ của vật thể và môi trường xung quanh là ${y(t)=T(t)-T_s}$ thì ${y^{\prime}(t)=k \cdot y(t)}$ với ${k}$ là hằng số. Một cốc nước đang ở nhiệt độ phòng là ${22^{\circ} {C}}$ được đưa vào ngăn mát tủ lạnh có nhiệt độ là ${5^{\circ} {C}}$. Sau 30 phút, nhiệt độ của cốc nước được đo lại là ${16^{\circ} {C}}$. Hỏi sau một tiếng trong tủ lạnh, nhiệt độ cốc nước là bao nhiêu độ ${C}$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Trả lời: 12
Đổi 1 giờ = 60 phút;
YCBT là xác định nhiệt độ của cốc nước sau 1 giờ hay ${T(60)}$.
Ta có ${y^{\prime}(t)=k . y(t) \Rightarrow \dfrac{y^{\prime}(t)}{y(t)}=k \Leftrightarrow[\ln y(t)]^{\prime}=k}$
Nguyên hàm 2 vế, ta được ${\ln y(t)=\int k {d} t=k t+C \Rightarrow y(t)=e^{k t+C}}$
(Khi đặt cốc nước vào tủ lạnh thì khi đó nhiệt độ môi trường xung quanh ${T_s=5}$ )
Khi đó ${y(t)=T(t)-T_s}$ tương đương với ${e^{k t+C}=T(t)-5 \Rightarrow e^{k t+C}+5=T(t)}$
Ta có ${e^{k .0+C}+5=T(0) \Leftrightarrow e^C+5=22 \Leftrightarrow e^C=17 \Leftrightarrow C=\ln 17}$
Suy ra ${T(t)=e^{k t+\ln 17}+5}$
Biết: sau 30 phút, nhiệt độ của cốc nước là ${16^{\circ} C}$ nên ta có ${T(30)=16 \Leftrightarrow e^{30 k+\ln 17}+5=16 \Leftrightarrow e^{30 k+\ln 17}=11 \Leftrightarrow 30 k+\ln 17=\ln 11}$
$\Leftrightarrow 30k=\ln 11-\ln 17=\ln \dfrac{11}{17}\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{30}\ln \dfrac{11}{17}$
Suy ra ${T(t)=e^{\dfrac{1}{30} \ln \dfrac{11}{17} t+\ln 17}+5}$
Vậy nhiệt độ của cốc nước sau 1 giờ trong tủ lạnh là ${T(60)=e^{60 \cdot \dfrac{1}{30} \ln \dfrac{11}{17}+\ln 17}+5 \approx 12^{\circ} C}$.