Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số $B'(t)=\dfrac{1000}{{{\left( 1+0,3t \right)}^{2}}}$, $t\ge 0$, trong đó $B(t)$ là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ $t$. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.
Lời giải
Trả lời: 10
Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn tăng với tốc độ là hàm số $B'(t)$, nên $B(t)$ chính là nguyên hàm của $B'(t)$ :
$B(t)=\int{{B}’\left( t \right)\text{dt}}=\int{\dfrac{1000}{{{(1+0,3t)}^{2}}}\text{dt}=1000\int{{{(1+0,3t)}^{-2}}\text{dt}=-\dfrac{1000}{0,3(1+0,3t)}+C}}$
Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước nên:
$B(0)=500\Leftrightarrow -\dfrac{1000}{0,3(1+0,3.0)}+C=500\Leftrightarrow C=\dfrac{11500}{3}.$
Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ $t$ là:
$B(t)=-\dfrac{1000}{0,3(1+0,3t)}+\dfrac{11500}{3}.$
Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn, ta có:
$B(t){<}3000\Leftrightarrow -\dfrac{1000}{0,3(1+0,3t)}+\dfrac{11500}{3}{<}3000$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1000}{0,3(1+0,3t)}{<}-\dfrac{2500}{3}\Leftrightarrow 1+0,3t{<}4\Leftrightarrow t{<}10.$
Vậy vào ngày thứ 10 hồ bơi không còn an toàn, cần phải thay nước mới.