Vì nước và dầu không hoà tan vào nhau nên nếu dầu đổ vào nước sẽ tạo thành một mảng hình trụ trên bề mặt nước

Vì nước và dầu không hoà tan vào nhau nên nếu dầu đổ vào nước sẽ tạo thành một mảng hình trụ trên bề mặt nước. Bán kính ${r(t)}$ của mảng này lan ra với tốc độ tỉ lệ thuận với chiều cao ${h(t)}$ của mảng dầu. Giả sử một lít dầu bị đổ trên mặt hồ tĩnh lặng. Bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm. Hỏi sau bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phằn mười) thì bán kính vết tràn đạt 5 mét?

Lời giải

Trả lời: 35,6

Vì mảng dầu này lan có dạng hình trụ, nên ta có thể tích khối dầu ${V=\pi \cdot r^2(t) \cdot h(t)}$ (thể tích này là không đổi) ${\Rightarrow h(t)=\dfrac{V}{\pi r^2(t)}}$

Bán kính ${r(t)}$ của mảng dầu lan ra với tốc độ ${r^{\prime}(t)}$, mà tốc độ lan ra ${r^{\prime}(t)}$ tỉ lệ thuận với chiều cao ${h(t)}$ của mảng dầu nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có ${r^{\prime}(t)=k \cdot h(t) \quad(*)}$

Thay ${h(t)=\dfrac{V}{\pi r^2(t)}}$ vào biểu thức (*) ta được ${r^{\prime}(t)=k \dfrac{V}{\pi r^2(t)}}$

Vì ${k \dfrac{V}{\pi}}$ là 1 đại lượng không đổi nên đặt ${k \dfrac{V}{\pi}=a}$

Khi đó ${r^{\prime}(t)=k \dfrac{V}{\pi r^2(t)} \Leftrightarrow r^{\prime}(t)=\dfrac{a}{r^2(t)} \Leftrightarrow 3 r^{\prime}(t) \cdot r^2(t)=3 a \Leftrightarrow\left[r^3(t)\right]^{\prime}=3 a}$

Nguyên hàm 2 vế, ta được ${r^3(t)=\int 3 a {d} t \Leftrightarrow r^3(t)=3 a t+C}$

Từ giả thiết: bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm, ta có hệ phương trình ${\left\{\begin{array}{l}r(0)=20 \\ r(2)=50\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}C=20^3=8000 \\ 3.2 a+C=50^3\end{array}\right.\right.}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

C=8000 \\

a=19500 \\

\end{array} \right.\Rightarrow {{r}^{3}}(t)=58500t+8000\quad (cm)$

Đổi ${5 {m}=500 {cm}}$

Bán kính vết tràn đạt 4 m tương đương với ${r(t)=500 \Rightarrow 500^3=58500 t+8000}$

${\Rightarrow t=\dfrac{500^3-8000}{58500} \approx 2136,61(s) \approx 35,6}$ phút