Một cái cây được gieo trồng từ hạt trong một chiếc chậu

Một cái cây được gieo trồng từ hạt trong một chiếc chậu. Chiều cao của nó sau ${t}$ (năm) được cho bởi hàm số ${h(t)}$ (đơn vị mét). Tốc độ thay đổi chiều cao của nó sau ${t}$ (năm) là ${h^{\prime}(t)=0,2 t+0,15}$ (mét/năm) với ${(0 \leq t \leq 4)}$. Sau khi trồng được 4 năm, cây được lấy ra khỏi chậu và trồng xuống đất, chiều cao của nó theo thời gian khi này thay đổi với tốc độ ${h^{\prime}(t)=\dfrac{11}{t}(t \geq 4)}$. Hỏi sau 4 năm trồng xuống đất cây cao bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải

Trả lời: 9,8

B1. Tính chiều cao của cây sau 4 năm đầu (trong chậu):

Để tìm ${h(t)}$, ta lấy nguyên hàm của ${h^{\prime}(t)}$ :

$h(t)=\int{(0,2t+0,15)}dt=0,2\dfrac{{{t}^{2}}}{2}+0,15t+C=0,1{{t}^{2}}+0,15t+C$

Vì cây gieo từ hạt, chiều cao ban đầu tại ${t=0}$ là ${h(0)=0}$

$h(0)=0,1{{(0)}^{2}}+0,15(0)+C=0\Rightarrow C=0$

Vậy, $h(t)=0,1{{t}^{2}}+0,15t$

Chiều cao của cây sau 4 năm (khi lấy ra khỏi chậu) là ${h(4)}$ :

$h(4)=0,1{{(4)}^{2}}+0,15(4)=0,1(16)+0,6=1,6+0,6=2,2$ (mét)

B2. Tính chiều cao tăng thêm của cây sau 4 năm trồng xuống đất:

Tốc độ thay đổi chiều cao trong giai đoạn này là ${h^{\prime}(t)=\dfrac{11}{t}}$ cho ${t \geq 4}$

Chiều cao tăng thêm trong giai đoạn này là tích phân của ${h^{\prime}(t)}$ từ ${t=4}$ đến ${t=8}$ :

$\Delta h=\int_{4}^{8}{\dfrac{11}{t}}dt=11\cdot [\ln |t|]_{4}^{8}\Rightarrow \Delta h=11(\ln (8)-\ln (4))=11\ln (2)\approx 7,62$

B3. Tính tổng chiều cao của cây sau 4 năm trổng xuống đất (tức là tổng cộng 8 năm):

Tổng chiều cao = Chiều cao sau 4 năm đầu + Chiều cao tăng thêm sau 4 năm trồng xuống đất

Tổng chiều cao ${=h(4)+\Delta h}$

Tổng chiều cao ${=2.2+7.62=9.82 \approx 9,8}$ mét.