📌 Đề bài:
Một hội nghị quốc tế có $100$ đại biểu tham dự. Thống kê về khả năng sử dụng ba ngoại ngữ Anh, Pháp, Nga của các đại biểu cho kết quả như sau:
- $70$ người biết tiếng Anh, $45$ người biết tiếng Pháp, $35$ người biết tiếng Nga;
- $30$ người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp, $20$ người biết cả tiếng Anh và tiếng Nga, $15$ người biết cả tiếng Pháp và tiếng Nga;
- Có $5$ người không biết thứ tiếng nào trong ba thứ tiếng trên.
Hỏi có bao nhiêu đại biểu biết cả ba thứ tiếng và bao nhiêu đại biểu chỉ biết đúng một thứ tiếng?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán về ứng dụng thực tế của tập hợp, ta sử dụng nguyên lý bù trừ (Inclusion-Exclusion Principle) hoặc biểu diễn bằng biểu đồ Ven:
- Kí hiệu $n(X)$ hoặc $|X|$ là số phần tử của tập hợp $X$.
- Số phần tử của hợp ba tập hợp $A, B, C$ được tính theo công thức:
$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \cap B) – n(B \cap C) – n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$$ - Số phần tử chỉ thuộc đúng một tập hợp (ví dụ chỉ thuộc $A$) là:
$$n(A_{\text{chỉ}}) = n(A) – n(A \cap B) – n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$$ - Tổng số phần tử chỉ thuộc đúng $1$ trong $3$ tập hợp:
$$N_1 = n(A) + n(B) + n(C) – 2\big(n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)\big) + 3n(A \cap B \cap C)$$
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Gọi $E, F, R$ lần lượt là tập hợp các đại biểu biết tiếng Anh, tiếng Pháp và tiếng Nga.
Theo giả thiết của bài toán, ta có các số liệu:
- Tổng số đại biểu của hội nghị là $N = 100$.
- Số người biết ít nhất một thứ tiếng là:
$$n(E \cup F \cup R) = 100 – 5 = 95$$ - $n(E) = 70, \quad n(F) = 45, \quad n(R) = 35$
- $n(E \cap F) = 30, \quad n(E \cap R) = 20, \quad n(F \cap R) = 15$
Bước 1: Tính số đại biểu biết cả ba thứ tiếng
Áp dụng công thức bao hàm và loại trừ cho ba tập hợp:
$$n(E \cup F \cup R) = n(E) + n(F) + n(R) – \big(n(E \cap F) + n(E \cap R) + n(F \cap R)\big) + n(E \cap F \cap R)$$
Thay số vào hệ thức trên, ta được:
$$95 = 70 + 45 + 35 – (30 + 20 + 15) + n(E \cap F \cap R)$$
$$95 = 150 – 65 + n(E \cap F \cap R)$$
$$95 = 85 + n(E \cap F \cap R) \implies n(E \cap F \cap R) = 95 – 85 = 10$$
Vậy có $10$ đại biểu biết cả ba thứ tiếng Anh, Pháp, Nga.
Bước 2: Tính số đại biểu chỉ biết đúng một thứ tiếng
Ta tính số người chỉ biết riêng từng thứ tiếng:
- Số đại biểu chỉ biết tiếng Anh là:
$$n(E_{\text{chỉ}}) = n(E) – n(E \cap F) – n(E \cap R) + n(E \cap F \cap R) = 70 – 30 – 20 + 10 = 30$$ - Số đại biểu chỉ biết tiếng Pháp là:
$$n(F_{\text{chỉ}}) = n(F) – n(E \cap F) – n(F \cap R) + n(E \cap F \cap R) = 45 – 30 – 15 + 10 = 10$$ - Số đại biểu chỉ biết tiếng Nga là:
$$n(R_{\text{chỉ}}) = n(R) – n(E \cap R) – n(F \cap R) + n(E \cap F \cap R) = 35 – 20 – 15 + 10 = 10$$
Tổng số đại biểu chỉ biết đúng một thứ tiếng là:
$$N_1 = 30 + 10 + 10 = 50\text{ (đại biểu)}$$
👉 Kết luận / Đáp án: Số đại biểu biết cả ba thứ tiếng là 10 người; Số đại biểu chỉ biết đúng một thứ tiếng là 50 người.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Lớp 10B có $40$ học sinh đăng ký các môn thể thao. Có $22$ em chơi bóng đá, $18$ em chơi bóng rổ, $15$ em chơi cầu lông; $8$ em chơi cả bóng đá và bóng rổ, $7$ em chơi bóng đá và cầu lông, $5$ em chơi bóng rổ và cầu lông; $2$ em không chơi môn nào. Tính số học sinh chơi cả ba môn thể thao.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Số học sinh chơi ít nhất 1 môn là: $40 – 2 = 38$.
Áp dụng công thức: $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – (n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)) + n(A \cap B \cap C)$
$$\implies 38 = 22 + 18 + 15 – (8 + 7 + 5) + x \iff 38 = 55 – 20 + x \iff 38 = 35 + x \implies x = 3$$
Đáp số: $3$ học sinh.
Bài tập 2: Trong một cuộc khảo sát $80$ người về việc đọc $3$ tờ báo $X, Y, Z$: có $40$ người đọc $X$, $30$ người đọc $Y$, $25$ người đọc $Z$; $12$ người đọc cả $X$ và $Y$, $10$ người đọc cả $X$ và $Z$, $8$ người đọc cả $Y$ và $Z$; $4$ người đọc cả ba tờ báo. Hỏi có bao nhiêu người không đọc tờ báo nào và bao nhiêu người chỉ đọc đúng hai tờ báo?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Số người đọc ít nhất một tờ báo là: $n(X \cup Y \cup Z) = 40 + 30 + 25 – (12 + 10 + 8) + 4 = 95 – 30 + 4 = 69$.
Số người không đọc tờ báo nào là: $80 – 69 = 11$ người.
Số người chỉ đọc đúng hai tờ báo bằng tổng số người đọc từng đôi trừ đi $3$ lần số người đọc cả $3$ tờ:
$$(12 – 4) + (10 – 4) + (8 – 4) = 8 + 6 + 4 = 18\text{ người.}$$
Bạn đọc có thể tham khảo thêm dạng toán khảo sát hộ gia đình sử dụng dịch vụ tương tự.
Đáp số: $11$ người không đọc báo nào; $18$ người chỉ đọc đúng hai tờ báo.
Bài tập 3: Khảo sát một nhóm gồm $60$ sinh viên về sở thích nghe nhạc với ba thể loại Pop, Rock và Jazz. Biết rằng: có $32$ sinh viên thích Pop, $25$ thích Rock, $20$ thích Jazz; $12$ sinh viên thích Pop và Rock, $9$ thích Pop và Jazz, $8$ thích Rock và Jazz; $5$ sinh viên thích cả ba thể loại. Hỏi có bao nhiêu sinh viên thích ít nhất hai thể loại nhạc?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Sinh viên thích ít nhất hai thể loại bao gồm sinh viên thích đúng 2 thể loại và sinh viên thích cả 3 thể loại.
Số sinh viên chỉ thích đúng hai thể loại là: $(12 – 5) + (9 – 5) + (8 – 5) = 7 + 4 + 3 = 14$.
Vậy số sinh viên thích ít nhất hai thể loại là: $14 + 5 = 19$ sinh viên (hoặc tính nhanh: $12 + 9 + 8 – 2 \times 5 = 19$).
Dạng toán này tương tự bài toán điều tra về thói quen đọc sách của sinh viên.
Đáp số: $19$ sinh viên.
Bài tập 4: Một lớp học có $50$ học sinh tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ: Toán, Lý, Hóa. Biết có $30$ em tham gia CLB Toán, $25$ em tham gia CLB Lý, $20$ em tham gia CLB Hóa; $15$ em tham gia cả Toán và Lý, $10$ em tham gia cả Toán và Hóa, $8$ em tham gia cả Lý và Hóa. Tính số học sinh tham gia cả ba câu lạc bộ và số học sinh chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Vì $100\%$ học sinh đều tham gia ít nhất 1 CLB nên $n(T \cup L \cup H) = 50$.
Ta có: $50 = 30 + 25 + 20 – (15 + 10 + 8) + x \iff 50 = 75 – 33 + x \iff x = 8$. Vậy có $8$ em tham gia cả 3 CLB.
Số học sinh chỉ tham gia $1$ CLB là:
$$n_{\text{chỉ 1}} = (30 – 15 – 10 + 8) + (25 – 15 – 8 + 8) + (20 – 10 – 8 + 8) = 13 + 10 + 10 = 33.$$
Đáp số: $8$ em tham gia cả ba CLB; $33$ em chỉ tham gia đúng một CLB.
Bài tập 5: Trong ngày hội ẩm thực của trường, một gian hàng khảo sát $150$ thực khách về sở thích ba món ăn: Trà sữa, Bánh ngọt và Kem. Kết quả cho thấy: $85$ người thích Trà sữa, $70$ người thích Bánh ngọt, $60$ người thích Kem; $35$ người thích cả Trà sữa và Bánh ngọt, $30$ người thích cả Trà sữa và Kem, $25$ người thích cả Bánh ngọt và Kem; $15$ người thích cả ba món. Tính số người không thích món nào trong ba món trên.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Số thực khách thích ít nhất một món ăn là:
$$n(A \cup B \cup C) = 85 + 70 + 60 – (35 + 30 + 25) + 15 = 215 – 90 + 15 = 140$$
Số người không thích món nào trong ba món là: $150 – 140 = 10$ người.
Đáp số: $10$ người.
Để lại phản hồi