📌 Đề bài:
Khảo sát $120$ học sinh khối 10 của một trường THPT về nguyện vọng tham gia ba câu lạc bộ thể thao: Bóng đá, Cầu lông và Bóng rổ. Kết quả thu được như sau:
- Có $60$ học sinh đăng ký câu lạc bộ Bóng đá;
- Có $50$ học sinh đăng ký câu lạc bộ Cầu lông;
- Có $45$ học sinh đăng ký câu lạc bộ Bóng rổ;
- Có $22$ học sinh đăng ký cả Bóng đá và Cầu lông;
- Có $18$ học sinh đăng ký cả Cầu lông và Bóng rổ;
- Có $20$ học sinh đăng ký cả Bóng đá và Bóng rổ;
- Có $10$ học sinh đăng ký tham gia cả ba câu lạc bộ thể thao trên.
Hỏi có bao nhiêu học sinh không đăng ký tham gia câu lạc bộ nào và bao nhiêu học sinh chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ thể thao?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán thực tế về số phần tử của các tập hợp, ta áp dụng Nguyên lý bù trừ (Inclusion-Exclusion Principle) hoặc phương pháp phân chia vùng trên biểu đồ Venn.
- Công thức số phần tử của hợp ba tập hợp hữu hạn $A, B, C$:
$$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| – (|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) + |A \cap B \cap C|$$ - Số phần tử chỉ thuộc một tập hợp:
$$\begin{aligned}
|\text{Chỉ } A| &= |A| – |A \cap B| – |A \cap C| + |A \cap B \cap C| \\
|\text{Chỉ } B| &= |B| – |A \cap B| – |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \\
|\text{Chỉ } C| &= |C| – |A \cap C| – |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
\end{aligned}$$ - Số phần tử không thuộc tập hợp nào: Lấy tổng số đối tượng khảo sát trừ đi số phần tử thuộc ít nhất một tập hợp ($|E| – |A \cup B \cup C|$).
Dạng toán này tương tự bài toán khảo sát sở thích các môn học của học sinh hoặc bài toán thống kê việc sử dụng dịch vụ của các hộ gia đình.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Gọi $E$ là tập hợp $120$ học sinh khối 10 được khảo sát, do đó $|E| = 120$.
Kí hiệu các tập hợp học sinh tham gia các câu lạc bộ thể thao:
- $A$ là tập hợp học sinh tham gia CLB Bóng đá $\Rightarrow |A| = 60$.
- $B$ là tập hợp học sinh tham gia CLB Cầu lông $\Rightarrow |B| = 50$.
- $C$ là tập hợp học sinh tham gia CLB Bóng rổ $\Rightarrow |C| = 45$.
Theo đề bài ta có:
- Số học sinh tham gia cả Bóng đá và Cầu lông: $|A \cap B| = 22$.
- Số học sinh tham gia cả Cầu lông và Bóng rổ: $|B \cap C| = 18$.
- Số học sinh tham gia cả Bóng đá và Bóng rổ: $|A \cap C| = 20$.
- Số học sinh tham gia cả ba câu lạc bộ: $|A \cap B \cap C| = 10$.
Bước 1: Tính số học sinh tham gia ít nhất một câu lạc bộ thể thao
Áp dụng công thức nguyên lý bù trừ cho ba tập hợp:
$$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| – |A \cap B| – |B \cap C| – |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$$
$$|A \cup B \cup C| = 60 + 50 + 45 – 22 – 18 – 20 + 10 = 105$$
Vậy có $105$ học sinh đăng ký tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ.
Bước 2: Tính số học sinh không đăng ký tham gia câu lạc bộ nào
Số học sinh không tham gia câu lạc bộ nào là:
$$|E| – |A \cup B \cup C| = 120 – 105 = 15 \text{ (học sinh)}$$
Bước 3: Tính số học sinh chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ
- Số học sinh chỉ tham gia CLB Bóng đá:
$$|A| – |A \cap B| – |A \cap C| + |A \cap B \cap C| = 60 – 22 – 20 + 10 = 28$$ - Số học sinh chỉ tham gia CLB Cầu lông:
$$|B| – |A \cap B| – |B \cap C| + |A \cap B \cap C| = 50 – 22 – 18 + 10 = 20$$ - Số học sinh chỉ tham gia CLB Bóng rổ:
$$|C| – |A \cap C| – |B \cap C| + |A \cap B \cap C| = 45 – 20 – 18 + 10 = 17$$
Tổng số học sinh chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ thể thao là:
$$28 + 20 + 17 = 65 \text{ (học sinh)}$$
👉 Kết luận: Có $15$ học sinh không tham gia câu lạc bộ nào và $65$ học sinh chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ thể thao.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $24$ học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc, $18$ học sinh tham gia câu lạc bộ Mỹ thuật, và $8$ học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Gọi $A, B$ lần lượt là tập hợp học sinh tham gia CLB Âm nhạc và Mỹ thuật.
Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai CLB là:
$$|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| = 24 + 18 – 8 = 34$$
Số học sinh không tham gia CLB nào là: $40 – 34 = 6$ (học sinh).
Đáp số: $6$ học sinh.
Bài tập 2: Trong một cuộc khảo sát $50$ người về việc đọc ba loại báo $A, B, C$, kết quả có: $25$ người đọc báo $A$, $22$ người đọc báo $B$, $18$ người đọc báo $C$; $12$ người đọc cả $A$ và $B$, $8$ người đọc cả $B$ và $C$, $10$ người đọc cả $A$ và $C$; $5$ người đọc cả ba tờ báo. Hỏi có bao nhiêu người chỉ đọc đúng hai loại báo?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Số người chỉ đọc đúng hai loại báo $A$ và $B$ là: $|A \cap B| – |A \cap B \cap C| = 12 – 5 = 7$.
Số người chỉ đọc đúng hai loại báo $B$ và $C$ là: $|B \cap C| – |A \cap B \cap C| = 8 – 5 = 3$.
Số người chỉ đọc đúng hai loại báo $A$ và $C$ là: $|A \cap C| – |A \cap B \cap C| = 10 – 5 = 5$.
Tổng số người chỉ đọc đúng hai loại báo là: $7 + 3 + 5 = 15$ người.
Đáp số: $15$ người.
Bài tập 3: Khảo sát tại một trường học có $150$ học sinh đăng ký các môn bồi dưỡng: Toán ($T$), Vật lí ($L$), Hóa học ($H$). Biết $|T| = 80, |L| = 65, |H| = 55$; $|T \cap L| = 35, |L \cap H| = 25, |T \cap H| = 30$; có $15$ em đăng ký cả $3$ môn. Tính số học sinh chỉ đăng ký môn Toán.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Số học sinh chỉ đăng ký môn Toán được tính theo công thức:
$$|\text{Chỉ Toán}| = |T| – |T \cap L| – |T \cap H| + |T \cap L \cap H| = 80 – 35 – 30 + 15 = 30$$
Đáp số: $30$ học sinh.
Bài tập 4: Một lớp học có $45$ học sinh, trong đó có $30$ bạn chơi bóng chuyền, $25$ bạn chơi bơi lội. Biết tất cả học sinh trong lớp đều chơi ít nhất một trong hai môn thể thao này. Hỏi có bao nhiêu bạn chơi cả hai môn?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Gọi $A$ là tập hợp bạn chơi bóng chuyền, $B$ là tập hợp bạn chơi bơi lội.
Vì bạn nào cũng chơi ít nhất một môn nên $|A \cup B| = 45$.
Số bạn chơi cả hai môn là:
$$|A \cap B| = |A| + |B| – |A \cup B| = 30 + 25 – 45 = 10$$
Đáp số: $10$ học sinh.
Bài tập 5: Điều tra $80$ hộ gia đình về nuôi gia súc, gia cầm: có $45$ hộ nuôi gà, $35$ hộ nuôi vịt, $30$ hộ nuôi heo; $20$ hộ nuôi cả gà và vịt, $15$ hộ nuôi cả vịt và heo, $18$ hộ nuôi cả gà và heo; $10$ hộ nuôi cả ba loại. Tính số hộ gia đình không nuôi con vật nào trong ba loại trên.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Số hộ nuôi ít nhất một trong ba loại là:
$$|A \cup B \cup C| = 45 + 35 + 30 – (20 + 15 + 18) + 10 = 110 – 53 + 10 = 67$$
Số hộ không nuôi loại nào là: $80 – 67 = 13$ (hộ).
Đáp số: $13$ hộ gia đình.
Để lại phản hồi